4. Функция распределения случайной величины и ее свойства

Дискретная случайная величина может быть задана перечнем всех ее возможных значений и их вероятностей, т.е. законом распределения. Такой способ задания не является общим, т.к. он неприменим для непрерывных случайных величин. Наиболее общей формой закона распределения случайной величины Х является функция распределения.

Функцией распределения (интегральным законом распределения, интегральной функцией распределения) называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т. е:

F(x)= P(Х  x).

ПРИМЕР 1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Х	3	4	7	10
Р	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти интегральную функцию распределения и построить ее график.

РЕШЕНИЕ.

1) х ≤ 3: F(х) = Р(Х < х) = 0;

2) 3 < x ≤ 4: F(х) = Р(Х < х) = Р(Х = 3) = 0,2;

3) 4 < x ≤ 7: F(х) = Р(Х < х) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) = 0,3;

4) 7 < x ≤ 10: F(х) = Р(Х < х) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) + Р(Х = 7) = 0,7;

5) x > 10: F(х) = Р(Х = 3) + Р(Х = 4) + Р(Х = 7) + Р(Х = 10) = 0,7 + 0,3 = 1.

И з примера видим, что функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает скачками при переходе через точки ее возможных значений х₁,…, х_n, причем величина скачка равна вероятности соответствующего значения.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

1. 0  F(x)  1;

2. P(  X  ) = P(  X  ) = P(  X  ) = F() – F();

3. F(x) – неубывающая функция, т.е. F(x₁)  F(x₂), если x₁  x₂;

4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то: 1) F(x) = 0 при х  а, 2) F(x) = 0 при х  b.

5. F() = 0, F(+) = 1.

Перечисленные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.

Е сли все возможные значения Х  (а, b), то график F(x) имеет вид:

ПРИМЕР 2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

F(x) =

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2;3).

РЕШЕНИЕ: Р(2 <Х < 3) = F(3) – F(2) = (3/2 – 1) – 0 = 0,5.

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Пусть Х – непрерывная случайная величина с функцией распределения F(х). Найдем вероятность попадания этой случайной величины на элементарный участок (х, х + ∆х):

Р(х < X < х + ∆х) = F(х + ∆х) – F(x)

Поделим обе части равенства на длину участка ∆х:

Это отношение называют средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.

Пусть F(х) – дифференцируемая функция. Тогда:

Функцию f(x) = F(x) называют плотностью распределения случайной величины в точке x или дифференциальной функцией распределения. График функции f(x) называется кривой распределения. Очевидно, если все возможные значения X заполняют интервал (а, b), то вне этого интервала f(x) равна нулю.