8.3. Разложение числа на простые сомножители

 Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением числа на простые сомножители или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. На предполагаемой большой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA и некоторые другие. Факторизация с полиномиальной сложностью теоретически возможна на квантовом компьютере с помощью алгоритма Шора.

В зависимости от сложности алгоритмы факторизации можно разбить на две группы. Первая группа – экспоненциальные алгоритмы, сложность которых экспоненциально зависит от длины входящих параметров (т.е. от длины самого числа в бинарном представлении). Вторая группа – субэкспоненциальные алгоритмы.

A. Экспоненциальные алгоритмы:

- метод факторизации Ферма;

- ρ-алгоритм Полларда;

- ρ-1 алгоритм Полларда;

Б. Субэкспоненциальные алгоритмы:

- метод непрерывных дробей (CFRAC);

- метод квадратичного решета;

- метод эллиптических кривых;

- общий метод решета числового поля (считается самым быстрым алгоритмом на текущий момент);

Рассмотрим три экспоненциальных алгоритма.

Метод факторизации Ферма

Суть метода состоит в том, чтобы попробовать представить нечетное число n в виде n = х² - у², где х, у - неотрицательные целые числа. Если такие числа найдены, то n = х²- у² = (х - у) (х + у). Значит, (х – у) и (х + у) являются делителями (не обязательно простыми) числа n.

Описание алгоритма.

1. х = [ ], где [ ] – целая часть  .

2. Если x = 1, то завершить работу.

3. Если n = х², то завершить работу, т.к. х является делителем числа n. В противном случае x = x + 1.

4. Если х = (n + 1) / 2, то завершить работу, т.к. n – простое. В противном случае  .

5. Если число у целое (т.е., если [у]² = х² - n), то завершить работу, т.к. (х + у) и (х - у) является делителями числа n. В противном случае х = x + 1 и перейти к шагу 4.

Например, n = 1 342 127.

Таблица 8.4. Таблица итераций

Тогда делителями n = 1 342 127 являются (x + y) = (1164 + 113) = 1277 и (x - y) = (1164 - 113) = 1051.

Как отмечалось выше, если в результате работы алгоритма получены делители, то они могут, в свою очередь, оказаться составными числами. Например, при n = 120 уже на первой итерации мы получаем x = [ ] + 1 = [10.95..] + 1 = 10 + 1 = 11,   =   = 1, (x + y) = (11 + 1) = 12 и (x - y) = (11 - 1) = 10. Очевидно, что числа 12 и 10 составные.

Т.о., чтобы найти все простые делители числа n необходимо использовать описанный выше алгоритм рекурсивно для каждого вновь найденного делителя. Если для него соблюдается условие шага 4, то он действительно является простым делителем числа n.

Для вскрытия шифрограммы, полученной с помощью алгоритма RSA, требуется найти два простых делителя числа n = p * q (напомним, n – часть открытого ключа). Отсюда, достаточно единожды (без рекурсивных вызовов) применить метод Ферма и найти два делителя, чтобы вскрыть шифрограмму. Но, т.к. по рекомендациям Лаборатории RSA на сегодняшний день, длина числа n составляет 2048 битов (n ≈ 2 * 10⁶⁰⁰), использование метода Ферма неперспективно.

p-Метод Полларда

Оригинальная версия

Рассмотрим последовательность целых чисел  , такую что   и  , где   - число, которое нужно факторизовать. Оригинальный алгоритм выглядит следующим образом[6].

1. Будем вычислять тройки чисел

, где  .

Причём каждая такая тройка получается из предыдущей.

2. Каждый раз, когда число   кратно числу   (скажем,  ), будем вычислять наибольший общий делитель   любым известным методом.

3. Если  , то найдено частичное разложения числа  , причём  .

Найденный делитель   может быть составным, поэтому его также необходимо факторизовать. Если число   составное, то продолжаем алгоритм с модулем  .

4. Вычисления повторяются   раз. Например, можно прекратить алгоритм при  . Если при этом число не было до конца факторизовано, можно выбрать, например, другое начальное число  .

Современная версия

Пусть   составное целое положительное число, которое требуется разложить на множители. Алгоритм выглядит следующим образом:[7]

Выбираем небольшое число   и строим последовательность  , определяя каждое следующее как  .

Одновременно на каждом i-ом шаге вычисляем   для каких-либо  ,   таких, что  , например,  .

Если обнаружили, что  , то вычисление заканчивается, и найденное на предыдущем шаге число   является делителем  . Если   не является простым числом, то процедуру поиска делителей можно продолжить, взяв в качестве   число  .

Как на практике выбирать функцию  ? Функция должна быть не слишком сложной для вычисления, но в то же время не должна быть линейным многочленом, а также не должна порождать взаимно однозначное отображение. Обычно в качестве   берут функцию  или  [8]. Однако не следует использовать функции   и  [6].

Если известно, что для делителя   числа   справедливо   при некотором  , то имеет смысл использовать  [6].

Существенным недостатком алгоритма в такой реализации является необходимость хранить большое число предыдущих значений  .

p-1 Метод Полларда

Первая стадия

Задача состоит в том, чтобы найти делитель числа   отличный от единицы. Прежде всего необходимо выбрать 2 числа  , такие, что  .

Вычислим теперь число  , где   — все простые числа меньшие  . Здесь допускается некоторая свобода в выборе  , однако точно известно, что для маленьких  ,   должно быть больше единицы[1].

Выберем небольшое целое   и вычислим

 если   мы нашли делитель  , в противном случае переходим ко второй стадии.

Вторая стадия

На этом шаге необходимо вычислить последовательность

 где   — простое,  , надеясь, что на каком-нибудь шаге получится

Легче всего[1] это сделать вычислением   для каждого нечётного   домножением на  , беря   через равные промежутки. Если   делитель найден. Если же  , то необходимо точнее исследовать этот участок.

Замечание

С помощью данного метода мы сможем найти только такие простые делители   числа  , для которых выполнено[1]:

 или  , где   является  -гладким, а   — простое, такое что  [1].

15