Тест Ферма (основан на малой теореме Ферма)

Если n - простое число, то оно удовлетворяет сравнению a^n-1 mod n = 1 для любого a. В тесте выбирается m случайных чисел a и для каждого из них проверяется выражения a^n-1 mod n = 1. Если для всех a_i (i = 1..m) выражение истинно, то вероятность того, что n составное число равна 1/2^m.

Выполнение сравнения является необходимым, но не достаточным признаком простоты числа. Если хотя бы для одного a сравнение невыполнимо, то n составное, в противном случае ничего определенного сказать нельзя. Если для составного n выполняется сравнение a^n-1 mod n = 1, то число n называют псевдопростым по основанию a. Например, числа Кармайкла - составные числа, для которых сравнение a^n-1 mod n = 1 выполняется для всех a взаимно простых с n. Чисел Кармайкла - бесконечное множество, наименьшее число Кармайкла – 561 = 3 * 11 * 17.

Тест Миллера – Рабина.

Является модификацией теста Миллера и заключается в проверке только части свидетелей простоты b в интервале от 2 до n – 2, выбираемых случайным образом. Согласно недоказанной теореме Рабина, если тест Миллера, примененный к n для более, чем n / 4 свидетелей простоты, не распознает в n составного числа, то n – простое. Т.о. при положительной проверке m свидетелей простоты b вероятность того, что n составное число равна 1/4^m. Рекомендуется брать m ≈ log₂(n) (например, для n = 10⁵ + 1, требуется проверить 13 свидетелей простоты).

Описание алгоритма.

1. Последовательно делим n – 1 на 2 пока не получим не¬четное частное. В результате найдем положительное целое k и нечетное q, для которых n – 1 = 2^k q.

2. Цикл А. Повторять m раз.

2.1. Выбрать случайно b в интервале 2 .. n – 2.

2.2. x = b^q mod n.

2.3. Если x = 1 или x = n – 1, то перейти на следующую итерацию цикла А.

2.4. Цикл В. Повторять k – 1 раз.

2.4.1. x = x² mod n

2.4.2. Если x = 1, то выдать «n – составное число» и завершить работу.

2.4.3. Если x = n – 1 , то перейти на следующую итерацию цикла А.

2.4.4. Перейти к следующей итерации цикла B.

2.5. Перейти к следующей итерации цикла А.

3. Выдать «n – вероятно простое».

Критерий Вильсона

Данный способ нахождения простого числа заключается в следующей теореме:

Натуральное число p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p–1)!+1 делится на p.

Тест Соловея–Штрассена

Заключается в следующем:

1.  Выбираем случайное число a из интервала [1; n-1] и проверяем с помощью алгоритма Евклида условие НОД(a,n)=1.

2.  Если оно не выполняется, то n – составное.

3.  Проверяем выполнимость сравнения:

.

4.  Если оно не выполняется, то n  – составное.

5.  Если сравнение выполнено, то ответ неизвестен (и тест можно повторить еще раз).

Сложность данного теста, как и теста на основе малой теоремы Ферма, оценивается величиной O(log³n).

Данный тест полностью аналогичен тесту на основе малой теоремы Ферма, однако, он обладает решающим преимуществом – при его использовании возникает только две ситуации:

–  число n простое и тест всегда говорит «не известно»;

–  число n составное и тест с вероятностью успеха не меньше 1/2 дает ответ «n – составное».

После повторения теста k раз вероятность неотбраковки составного числа не превосходит 1/2^k.