7.3. Представление моделей детерминированных динамических систем

Простейшей линейной моделью детерминированной ДС является дифференциальное уравнение (диф.ур):

, . (7.4)

ДС может находиться под воздействием управляющих воздействий . Целью управлений может быть удержание система в некотором стационарном или равновесном состоянии . В другом варианте управляющее воздействие может выглядеть в виде импульсного перепада от до .

Устойчивое решение данного диф.ур. обеспечивается при и имеет вид:

. (7.5)

Такая система с увеличением времени изменяет свое состояние от до нуля по экспоненте с показателем . График траектории такой ДС представлен на рис.7.2.

Рис.7.2. Траектории движения возмущенной системы к установившемуся равновесному состоянию при разных

Частным случаем модели такой ДС является диф.ур.:

. (7.6)

Это значит, что система без воздействий находится в равновесном состоянии. Рассмотрим состояние развивающейся системы претерпевающей в своей истории различные этапы. Очевидно скорость развития систем в течение времени различна и, следовательно, модель развития не является линейной.

Нелинейных моделей ДС может быть множество и их общее представление имеет вид:

, . (7.7)

Нелинейные системы часто «склонны» и неравновесным состояниям. Динамическая система находящаяся в таком состоянии обладает особыми свойствами: катастрофы, бифуркации и др. Данными свойствами занимаются теория катастроф, синергетика, теория устойчивости. Для конкретизации обратимся к простейшему виду развивающихся моделей роста и насыщения.

7.3.1. Модели роста и насыщения макросостояний нелинейных динамических систем.

В развитии любых динамических систем как правило отмечается 3-и основных этапа роста:

1. Начальный, медленный рост;

2. Быстрый, прогрессирующий рост;

3. Плавный с выходом на уровень насыщения.

Можно утверждать что развитие телекоммуникаций в настоящее время находится на 2-м прогрессирующем (пассионарном) этапе.

Под термином «рост» можно понимать численный рост, рост эффективности, рост потребляемых ними вырабатываемых ресурсов. Графически все три этапа образуют так называемую -кривую роста.

Математические модели процессов роста и насыщения очевидно, нелинейны. Можно аппроксимировать эти процессы на каждом из этапов отдельно, или построить обобщенную модель.

Так на этапе роста состояние развивающейся системы может быть представлено функцией:

, (7.8)

где - показатель степени роста (Reproduction).

При уравнение (7.8) – линейно, а решение данного диф.ур.

. (7.9)

Экспоненциальный рост (7.9) носит название «мальтузианского», характерного для роста популяций.

При отмечается гиперболический рост.

При - параболический рост (рис.7.3).

Рис.7.3. График роста при различных показателях

На этапе насыщения состояние системы принято представлять в виде

, . (7.10)

где - показатель степени насыщения (Saturation).

Возможны три характерных случая насыщения:

- линейное насыщение (экспоненциальный процесс). Решение сводится к предыдущему варианту.

- гиперболическое насыщение.

- параболическое насыщение.

В качестве практического примера насыщения может служить предельный характер роста количества абонентских станций в некоторой зоне обслуживания сотовой связи на этапе 2G.

То есть на этапе насыщения происходит замедление роста, вплоть до остановки и стабилизации на определенном уровне.

Обобщенной моделью роста и насыщения может служить следующая модель:

. (7.11)

При , данное уравнение известно как логистическое, с экспоненциальным ростом на обоих этапах.

. (7.12)

Впервые это уравнение появилось в теории Мальтуса. Его интерпретация следующая.

Рассматривается развивающаяся во времени популяция животных , скорость измерения количества которых:

. (7.13)

где - предельное число, которое может прокормиться в данном регионе,

- скорость размножения животных.

Анализ показывает, что при низкой скорости размножения популяция постепенно гибнет, с увеличением популяция растет. При росте достигается максимум популяции, разность в скобках (7.12) приближается к нулю, что опять же приводит к снижению популяции. Очевидно при определенных соотношениях и возможна стабилизация на определенном уровне.

При практических исследованиях приходится переходить от непрерывной (7.8), (7.9) модели, к дискретной

, (7.14)

где по смыслу соответствует .

Анализ многих специалистов показывает, что результаты непрерывного алгоритма и дискретного часто существенно разнятся. При этом в дискретном варианте появляются неравновесные неожиданные состояния, которые отсутствуют в непрерывном. В частности отмечается разделение фазовых траекторий бифуркации.

Для сопоставления темпа насыщения воспользуемся фазовым портретом системы, то есть зависимостью текущего значения от скорости роста .

На рис.7.4а представлена зависимость состояния от параметра , при . Характер достижения насыщения представлен на рис.7.4б,в.

а	б	в

Рис.7.4. Фазовые траектории и временные диаграммы неравновесных состояний состояния . а – бифуркационная траектория, б – характер насыщения, в – рост функции при

Из рис.7.4а следует, что при определенных начальных условиях решение уравнения (7.14) начинает раздваиваться. Характерно, что такое поведение системы свойственно дискретному решению . То есть с увеличением накапливается шум дискретизации и неустойчивость возникает в точках бифуркации (Т.Б.). В литературе такое поведение носит название «хаос» или «динамический хаос», проявляющийся при функционировании определенных нелинейных ДС.

Динамический хаос весьма чувствителен к малым изменениям начальных условий или параметров детерминированной ДС. Таким образом при практическом анализе состояний у детерминированной ДС может проявляться свойства случайных состояний ДС.