2.3. Соответствие нормальному закону

С помощью нормального закона решается множество статис­тических задач, а ряд статистических методов основан на его свой­ствах.

В связи с этим в практике ФКС при работе с эмпирическими рядами возникает проблема сравнения идентичности полученно­го ряда нормальному закону.

Соответствие нормальному закону на практике решается дву­мя путями:

1) критериями согласия; 2) правилом трех сигм (±3) (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Правило трех сигм (±3)

Самым распространенным и простым в использовании являет­ся критерий χ² Пирсона.

Идея критерия состоит в следующем: определяют такие теоре­тические частоты, которые соответствуют нормальному закону, затем их сравнивают с реальным распределением в соответствии с критерием χ² Пирсона. Результаты сравнения показывают, со­ответствуют ли частоты реального распределения нормальному за­кону. Приведем конкретный пример.

Пример 2.12. Становая сила у спортсменов в возрасте 16 лет выражается в ньютонах (Н) через x_i. Определите теоретические частоты, если известно, что число равновозможных событий n = 62 (табл. 2.25).

Таблица 2.25

Соответствие становой силы спортсменов нормальному закону распределения

3. Подготовка к работе

Объем выборки n = 62; _x = 0,44 Н.

Величину (длину) интервала k выбираем приближенно — по характе­ру вариационного ряда x_i. В примере 2.12 удобно выбрать интервал k = 0,2. В таком случае величина

В столбце f(k), представленном в табл. 2.25, произведено ок­ругление чисел, так как частоты измеряются в целых числах.

Сумма теоретических частот n = 56 не совпала с суммой эмпи­рических частот n = 62, что свидетельствует о малой выборке.

Теперь рассмотрим, подчиняется ли полученное эмпирическое распределение нормальному закону распределения. С этой целью воспользу­емся специальными статистическими приемами, называемыми кри­териями согласия. Самым популярным из них является критерий χ²Пирсона, который определяется по формуле

где n_i — эмпирические частоты; — теоретические частоты; п — объем эмпирической совокупности.

Теоретический критерий χ² Пирсона определяется с помощью таблицы приложения 2. Для того чтобы воспользоваться этой таб­лицей, нужно определить число степеней свободы, т. е. число, ука­зывающее на количество взаимно связанных параметров.

Так, в примере 2.12 рассмотрены три взаимосвязанных па­раметра, а именно:

найдена средняя арифметическая величина , связывающая все исходные данные;

определено среднее квадратическое отклонение , указыва­ющее на рассеивание исходных данных;

установлен объем совокупности n = 62.

Число степеней свободы k = 6, так как: всего вариантов, свя­занных между собой, было 9 (от 9,4 до 11,2); а число связей рав­но 3, что установлено выше, следовательно, число степеней сво­боды k = 9 - 3 = 6.

В таблице приложения 2 по показателям χ² и k находим величи­ну вероятности того, что любое x_i распределенное по закону χ², примет значение меньшее, чем найденное χ².

Если выяснится, что найденное в таблице число больше ве­личины 0,01, расхождения между практическими n_i и теоретиче­скими частотами следует считать незначительным, и эмпири­ческое распределение согласуется с нормальным законом рас­пределения. По данным примера 2.12 продолжим вычисления (табл. 2.26).

П о таблице приложения 2 находим

Отсюда

Таблица 2.26

Расхождение между теоретическими и практическими частотами.

В ариант 1

Величина P(χ²) = 0,0018 < Р(χ²) = 0,01, поэтому исходный эмпирический ряд не соответствует нормальному закону распре­деления.

Заметим, что резкое увеличение величины χ² произошло из-за предпоследней частоты n_i = 8, которая составила существенное различие с теоретической частотой n_i = 2.

Попробуем изменить исходный ряд так, чтобы приблизить n_i к (табл. 2.27 и 2.28).

Таблица 2.27

Обработка показаний становой силы спортсменов

В табл. 2.28 показана величина χ² = 3,95. По таблице приложения 2 находим

Т огда

Таблица 2.28

Расхождение между теоретическими и практическими частотами.

Вариант 2

Полученная вероятность значительно больше вероятности 0,01. Следовательно, исходный эмпирический ряд соответствует нор­мальному закону.

Данные, приведенные в табл. 2.25 — 2.28, показывают, что рас­пределение частот, полученное на практике, может быть близко или далеко от нормального закона. Отсюда, чтобы иметь право пользоваться свойствами нормального закона, нужно всегда про­верять их на соответствие.

Правило трех сигм (±3) (см. рис. 2.9) является еще одним способом проверки эмпирического ряда на соответствие нормаль­ному закону распределения. Этот способ — приближенный. Суть его сводится к следующему.

Установлено, что под кривой Гаусса участок ±  занимает 0,6828 всей площади, участку ±2 отведено 0,9545 всей площа­ди, а на участке ±3 находится 0,9973 всей площади. Обратим внимание на то, что вероятность, откладываемая по оси ординат, прямо пропорциональна числу рассматриваемых событий, т. е. числу благоприятствующих событий, поэтому можно с уверенностью заключить, что на участке ±3 сосредоточено 0,9973 всех час­тей. В этом случае исследуемый закон является нормальным.

Рассмотрим пример 2.12 (см. табл. 2.27, графы 1, 2). Если объем совокупности (сумма частот) n = 57, то 0,9973 объема составляет 56,8461 = 57. Таким образом, если на участке ±3, а сосредоточит­ся весь объем совокупности, закон можно рассматривать как нор­мальный.

Проанализируем данные, приведенные в табл. 2.27:

т.е. если на участке 9,9... 11,4 сосредоточены все 57 испытуемых, то распределение соответствует нормальному закону.

В примере 2.12 так и получилось. По вертикали наш размах составил от 9,4 до 11,2, т.е. на участке 9,4... 11,2 сосредоточено 57 испытуемых. Размах 9,4... 11,2 меньше, чем 9,9... 11,4. Объясним это так: варианты 9,4; 9,5; 9,6; 9,7; 9,8 равны 0, варианты 11,3; 11,4 также равны 0.

Итак, эмпирическое распределение, данные которого представ­лены в табл. 2.28 (графы 1, 2), согласно правилу трех сигм (±3) соответствует нормальному закону распределения.

Нормальный закон распределения имеет место тогда, когда на появление случайных событий одновременно оказывают влияние множество факторов, причем невозможно установить приоритет какого-либо из факторов.

В ФКС, как правило, рассматриваются именно такие ситуации. Объясняется это тем, что спорт зависит от человеческого факто­ра, который определяется множеством факторов, и все они оди­наково необходимы, важны и влиятельны. В силу этого нормаль­ному закону соответствуют антропометрические показатели (рост, масса тела и т.д.), физиологические факторы (МПК, ЖЕЛ, ПАНО и др.), психологические, педагогические, а также собственно спортивные показатели, например спортивные результаты. Итак, нормальный закон и задачи, решаемые на основе свойств нор­мального закона, имеют огромное значение в практике спортив­ных исследований.