2.2. Нормальный закон распределения

Распределение представляет собой соотношение элементов со­вокупности с частотой их появления.

Соотношение может быть представлено в таблице, на графике или выражено формулой. В простейшем представлении распреде­ление выглядит как полигон.

Пример 2.11. Рассмотрим результаты измерений на гибкость 30 спортсменов. Амплитуда наклонов — х, (мм) (табл. 2.24).

Таблица 2.24 Обработка результатов измерений амплитуды наклонов

На основании данных, приведенных в табл. 2.24, построим по­лигон (рис. 2.5). Полигон выражает соотношение между показате­лями амплитуды наклона х_i и частотой их появления n_i. Такое со­отношение называется практическим распределением. Оно получе­но в результате экспериментальных наблюдений.

Начнем преобразование полигона (см. рис. 2.5).

Рис. 2.5. Полигон (см. табл. 2.24)

Прежде всего, отметим, что частота появления события n_i может рассматривать­ся как число, благоприятствующее появлению события x_i а равновозможным можно представить объем совокупности, в данном случае n = 30. Таким образом, шкала ординат может быть вы­ражена вероятностями появле­ния x_i т.е.

Р(х_i) = n_i /n. (2.8)

От такого представления по­лигон не изменится, другим бу­дет только масштаб шкалы п_i.

Затем представим, что спорт­сменов, исследуемых на гиб­кость, было очень много и каж­дое из представленных на шкале x_i имело бы свою частоту. В этом случае точки на графике очень тесно прилегали бы друг к другу, образуя сплошную плавную кривую. Эта кривая в принципе отра­зила бы факт соотношения величин x_i и n_i для случая, когда все возможные x_i приняты во внимание. Такое распределение назы­вается теоретическим распределением. Оно представляет собой за­кономерность соотношения между показателями x_i и n_i.

Математическая статистика предоставляет в распоряжение ис­следователя теоретические распределения, выраженные языком ма­тематики, свойства которой могут быть использованы на практике.

Для практических исследований такие распределения нужны при решении двух задач.

Во-первых, установив, что эмпирическое распределение соот­ветствует определенному теоретическому, представляется возмож­ным использовать известные и апробированные свойства теории на практике. В этом случае проблема заключается в том, чтобы ус­тановить и доказать схожесть эмпирического и теоретического рас­пределений. Во-вторых, с помощью точного теоретического рас­пределения возможно установить вероятностное положение кон­кретной единицы совокупности по отношению ко всем прочим единицам. В силу этих двух задач теоретические распределения име­ют существенное значение для практических исследований.

Известно около двадцати теоретических распределений. Одни из них отражают соотношение редких и малоизученных явлений, дру­гие — равномерность возникновения единиц совокупности и т.д.

Самым распространенным, хорошо изученным и практически полезным распределением принято считать нормальное распределе­ние, отражаемое кривой Гаусса и известное как нормальный закон.

Смысл этого распределения заключается в том, что оно отра­жает массовые однотипные явления — именно такие, которые рассматривает статистика. Основой этого распределения является закон больших чисел, доказанный теоремой А. А. Ляпунова.

Смысл теоремы А. А. Ляпунова заключается в том, что на слу­чайные величины одновременно влияет множество независимых факторов, действие которых в отдельности значительно меньше их суммарного действия, они распределяются в соответствии с нор­мальным законом. Таким образом, если на какую-то случайную величину действует множество факторов, не имеющих очевидных преимуществ друг перед другом по степени влияния на эту величи­ну, следует ожидать нормального закона распределения.

Теперь рассмотрим само распределение. Идея нормального рас­пределения в том, что множество единиц совокупности распреде­ляется таким образом, чтобы около средней арифметической было сконцентрировано наибольшее количество единиц, около больших или малых значений — минимальное количество единиц, а все прочие единицы должны соответствовать кривой Гаусса (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Кривая Гаусса

Нормальный закон распределения представляет собой частный случай распределения, когда = 0, а  = 1. В данном случае = 0 и ось ординат проходит через .

Рассмотрим свойства нормального закона распре­деления.

1. От величины зависит положение кривой: с увеличением (уменьшением) кривая будет сдвигаться вправо (влево) вдоль оси абсцисс, при этом ее форма соответственно не изменяется.

2. От величины среднего квадратического отклонения (СКО)  зави­сит форма кривой: чем СКО  боль­ше, тем ниже и шире кривая; чем СКО  меньше, тем выше и тоньше кривая (рис. 2.7).

3. Формула нормальной кри­вой имеет вид

г де P(x_i) — ординаты кривой; x_i — абсциссы кривой; — средняя арифметическая величина;  — среднее квадратическое отклонение; е — основание натуральных логарифмов.

Рис. 2.7. Кривая Гаусса при разных величинах дисперсии 

П араметры = 0 и  = 1 определяют нормированную кривую, поэтому ее формула имеет вид

При построении кривой по эмпирическим данным формула выглядит так:

где k— величина интервала в вариационном ряду; n — объем со­вокупности; t — нормированное отклонение.

Нормированное отклонение находим по формуле:

Рис. 2.8. Нормальное распределение (z-оценки)

Величина f(t) табулирована и может быть определена по таб­лице приложения 1.

В некоторых задачах нормальное распределение представляется в виде так называемых z -оценок. В этом случае на оси ординат откладываются величины нормированных отклонений (рис. 2.8).