3.4. Периодичность функций

Функция у=f(х) называется периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения функции справедливо равенство f(х+Т)=f(х)=f(х–Т).

Число Т называется периодом функции у=f(х). Если Т – период функции у=f(х) то 2Т, 3Т, 4Т, – Т, –2Т, –3Т и т.д. – периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов. Если, например, Т — период функции, то и число вида кТ, где к – любое целое число, также является периодом функции.

Наименьший среди мно­жества положительных периодов называют основным периодом.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т – основной период функции у=f(х), то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси х длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси х на ±Т, ±2Т, ±3Т, (рис. 2).

Примеры периодических функций:

у={х} – основной период Т=1;

у=sin(х) – основной период Т=2;

у=соs(х) – основной период Т=2;

у=tg(х) – основной период Т=;

у=сtg(х) – основной период Т=.

3.5. Монотонность функций

Функция у=f(х) называется возрастающей на промежутке X, если для любых х₁ и х₂ из X, таких, что х₁<х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂).

Функция возрастает на промежутке, если большему значению аргумента на этом промежутке соответствует большее значение функции. График возрастающей функции показан на рис. 3.

Функция у=f(х) называется убывающей на промежутке X, если для любых х₁ и х₂ из X, таких, что х₁<х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂).

Функция убывает на промежутке, если большему значению аргумента на этом промежутке соответствует меньшее значение функции. График убывающей функции показан на рис.4 .

Возрастающие и убывающие на своей области определения функции называются монотонными функциями.

На рис. 5 изображен график функции, определенной на отрезке [–1;10]. Эта функция возрастает на интервалах (–1; 3) и (4; 5), и убывает на интервалах (3;4) и (5,10).

x

y

Рис. 5.

Интервалы возрастания и убывания функции называются интер­валами монотонности функции.

3.6. Обратная функция

Пусть функция у=f(х) монотонна на D(f), а областью ее значений является множество E(f). Тогда каждому числу уE(f) можно поставить в соответствие единственное число хD(f). Значит, х можно рассматривать как функцию от у, определенную на множестве E(f) со значениями во множестве D(f). Такую функцию обозначают х=f ^–1(у) и называют обратной функцией по отношению к функции у=f(х).

Нахождение аналитического выражения х= f ^–1(у) сводится к разрешению уравнения у=f(х) относительно х. Так как связь между х и у в прямой функции у=f(х) и обратной х=f ^–1(у) одна и та же, то графики этих функций совпадают. Поэтому обратную функцию х=f ^–1(у) представляют в обычно принятых обозначениях – аргумент обозначают через х, а функцию – через у, при этом функцию y=f ^–1(x) по-прежнему называют обратной по отношению к функции у=f(х).

Из приведенных выше рассуждений следует, что для того, чтобы записать обратную функцию к заданной, необходимо:

1. выразить из нее х;

2. заменить в полученном равенстве х на у, а у на х.

Например, записать обратную функцию к у=х³. Это монотонная функция. Выразим из неё х, получим . Заменим в полученном равенстве х на у, а у на х: . Таким образом, обратной к функции у=х³ является функция .

С учетом вышесказанного, функцию f ^–1(x) называют обратной к f(х), если для этих функций выполняется равенство f ^–1(f(х))= f(f ^–1(х))= х.

Действительно, если взять функции и у=х³ то выполняется равенство .

Так как в обратной функции х=f ^–1(у) осуществлен переход к обычно принятому обозначению аргумента и функции, то каждая точка графика функции y=f ^–1(x) получается из точки графика функции у=f(х) заменой х на у, а у на х, т. е. если точка М₁(х; у)G_f, то точка М₂(у; х) Gf ^–1, а точки М₁(х; у) и М₂ (у; х) симметричны относительно прямой у=х. Следовательно, график функции у=f ^–1(х) полу­чается из графика функции у=f(х) отображением последнего относительно прямой у=х (рис. 6).

Рис. 6.

Пример. Построить функцию обратную к функции у=х²+4х.

Решение. Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. а>0). Построим ее. Для этого определим координаты вершины параболы:

; .

Найдём координаты точек пересечения с осью Ох. Для этого положим у=0 и решим уравнение х²+4х=0. Получим х₁= –4, х₂= 0.

Таким образом, точками пересечения параболы с осью Ох являются точки с координатами (–4; 0) и (0; 0). График параболы у=х²+4х показан на рис. 6.

Рассмотрим интервалы монотонности данной функции. Функция у=х²+4х убывает на промежутке (–; –2] и возрастает на [–2; ). Областью значений данной функции есть промежуток [–4; ) (рис. 18). Значит, функция у=х²+4х имеет для каждого из промежутков монотонности по обратной функции у₁ и у₂, у которых D(у₁)= D(у₂)= [–4; ), Е(у₁)=(–; –2], Е (у₂)= [–2; ).

Выразим из заданного уравнения параболы x. Получим . Заменим в полученном равенстве х на у, а у на х. В результате будем иметь две обратные функции , . Графики данных функций будет получаться путем симметричного отображения ветвей исходной параболы относительно прямой у=х (рис. 7).

Рис. 7.