3.2. Способы задания функций

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно определить соответствующее значение функции.

Чаще всего функцию задают с помощью формулы – некоторого выражения с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана аналитически.

Например. Функция у=х² показывает, что каждому значению переменной х ставится в соответствие квадрат этого числа. Эта функция определена для любого х на числовой прямой, т.е. D(у): х(–, ). При этом её значения f(x) изменяются от [0, ), т.е. Е(у): у[0, ).

Однако не всякая формула задаёт функцию.

Например, равенство y²=x рассматривать как функцию нельзя, т.к. существуют такие значения переменной x, которым соответствует два значения переменной y. Поэтому равенство y²=x рассматривают как две функции и .

Табличный способ задания функции предполагает представление функции в виде таблицы, в которой указывается значения функции для имеющихся значений аргумента.

Графическое задание функции предполагает рассмотрение функции, как множества точек координатной плоскости, абсциссы которых принадлежат области определения функции, а соот­ветствующие ординаты равны значениям рассматриваемой функции. Совокупность таких точек (х, f(х)) образует график функции G_f.

Н а практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Например, функцию у=х² на отрезке [–2,5; 2,5], можно заменить таблицей

x	–2,5	–2	–1,5	–1	–0,5	0	0,5	1	1,5	2	2,5
f(x)	6,25	4	2,25	1	0,25	0	0,25	1	2,25	4	6,25

Рис. 1.

Если нанести найденные точки (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1); (–1; 1); (2; 4); (–2; 4); (2,5; 6,25); (–2,5; 6,25) на координатную плоскость (рис. 1), соединив эти точки плавной линией, то получим график, а точнее, эскиз графика функции. Уравнение у=х² на координатной плоскости задаёт параболу с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх и располагаются симметрично относительно оси ординат.

3.3. Четность и нечетность функций

Функция у=f(х) называется четной, если:

1. область определения функции D(у) является симметричной относительно начала координат, т.е. любой точке х, кроме 0, в области определения соответствует точка – х.

2. для любого х из области определения функции выполняется равенство f(–х)=f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ординат. Примерами чётных функций являются: у=хⁿ в случае когда n – целое четное число у=cos(х), у=|х|, у=C (где C=const).

Функция у=f(х) называется нечетной, если:

1. область определения функции D(у) является симметричной относительно начала координат, т.е. любой точке х, кроме 0, в области определения соответствует точка – х.

2) для любого х из области определения функции выполняется равенство f(–х)= – f(х).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечётных функций являются: у=хⁿ в случае когда n – целое нечетное число, у=sin(х), у=tg(х), у=сtg(х), у=arctg(х), у=arcsin(х).

Если хотя бы одно из условий чётности или нечётности для рассматриваемой функции не выполняется, ее называют функцией общего вида.

Примерами функций общего вида являются у=ах+b, у=arcctg(х), у=arcсos(х).

Пример. Исследовать на четность, нечетность следующие функции:

a) ; б) ; в) .

Решение. a) .

1) D(y): x(–; ), т.е. область определения функции симметрична относительно начала координат;

2) f(–х)= f(х)– функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

б) .

1) D(y): . .

Это означает, что D(y): x(–; –3) U(–3; 3) U (3; ), т.е. область определения функции симметрична относительно начала координат;

2) f(–х)= = –f(х )– функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

в) .

1) D(y): или .

Это означает, что D(y): x(–; 2) U (2; ), т.е. область определения функции не симметрична относительно начала координат.

Так как первое условие не выполняется, то можно сделать вывод, что исследуемая функция общего вида.

Особенности графиков четной и нечетной функций позволяют сократить процесс их построения. Для построения таких графиков достаточно начертить его в той части области определения, которая соответствует положительным значениям аргумента, а затем продолжить этот график симметрично относительно оси Оу, если функция четная, или симметрично относительно начала координат, если функция нечетная.