5. Визначення теперішньої та майбутньої вартості грошей для довільного терміну

У практичних задачах термін інвестування не завжди є цілим числом періодів нарахувань процентів. Для обчислення нарощеної (майбутньої) або теперішньої вартості грошей у такому разі цілком логічно знайти процентну ставку, еквівалентну вихідній ставці, при якій термін дорівнюватиме цілому числові періодів нарахувань.

ПРИКЛАД 11

16 тис. грн. інвестовано на 1 рік та 5 місяців під складні проценти за ставкою 15 % річних. Знайти нарощену суму грошей на кінець терміну.

Дано: P = 16 тис. грн. n = 1 р. 5 міс. іc = 15 %	Розв’язок Знайдемо процентну ставку j12, яка відповідає нарахуванню процентів щомісяця і при цьому еквівалентна 15 % річних. За формулою (2.5) обчислюємо: (1 + j12)12 = (1 + 0,15). Звідси місячна ставка процентів: j12 = - 1 = 0,0117.
S = ?	j12 = 11,7 %.

Отож, нарощена сума за формулою (2.1) дорівнюватиме:

S = 16 000 ´ (1 + 0,0117)¹⁷ = 16 187,43 (грн.)

Зауважте, що в наведеному прикладі

(1 + 0,0117)¹⁷ = (1 + 0,15)^17/12.

Ця рівність справедлива й у загальному випадку. Таким чином, обчислена за формулою складних процентів нарощена або теперішня вартість не залежить від того, чи термін інвестування є цілим числом періодів, чи не є. Результат такий же, як і при обчисленні з використанням еквівалентної ставки.

У зв’язку із трудомісткими обчисленнями, які виникають при ірраціональному терміні, здебільшого використовують наближені методи, які цілком задовольняють необхідну точність обчислень. Одним із найпоширеніших методів є так званий банківський метод, при якому на повне число періодів нараховують складні проценти, а на залишок часу - прості проценти.

Позначимо n_a - повне число років;

n_b - дробову частину року,

тоді n = n_a + n_b.

У цьому разі множник нарощення складних процентів дорівнює:

(1 + i)ⁿ = (1 + i)^{na + nb} = (1 + i)^{na ´} .

На практиці множник заміняють наближеним його значенням (1 + i ´ n_b). Тоді формула (2.1) набуде вигляду:

(2.11)

ПРИКЛАД 12.

Борг у розмірі 160 тис. грн. треба виплатити через 2 роки і 5 місяців. Знайти теперішню вартість боргу за умови, що проценти за кредит нараховуються за ставкою 15 % річних.

Дано: Р = 160 тис. грн. n = 2 роки і 5 місяців і = 15 %	РОЗВ’ЯЗОК З формул (2.7) та (2.11) маємо Р = =113,86635 (тис. грн.).
S = ?

2.6. Обчислення термінів інвестування та процентних ставок

Будемо вважати, що суму грошей Р виплачують у момент часу n, а суму грошей S виплатять у момент часу t + n. У даному разі n - термін між виплатами. Він виражається у фіксованих періодах, а саме - роках, місяцях, днях. Постає проблема знаходження ефективної процентної ставки за період, упродовж якого ці суми еквівалентні.

Розв’язавши рівняння (2.1) S = P ´ (1 + i)ⁿ, знайдемо складну ставку:

(2.12)

Якщо n - термін між виплатами P i S у роках, тоді для номінальної річної ставки, яка відповідає m-кратному нарахуванню процентів у році, з формули (2.2) S = P ´ , замінивши t на n, отримаємо

(2.13)

Неперервну процентну ставку знаходимо з формули (2.8):

,

замінивши t на n:

j = (2.14)

ПРИКЛАД 13

Знайти процентну ставку для кредиту в 200 тис. грн. Сума при погашенні становить 350 тис. грн. Кредит видано на 3 роки. Вважаємо, що процентна ставка є:

1) річною; 2) неперервною.

Дано: P = 200 тис. грн. S = 350 тис. грн. n = 3	РОЗВ’’ЯЗОК 1) ЗЗа ффоррмуулоою (2.12) рріччнаа сстаавкка: i = –– 1 = 1,20507 –– 1 = 0,20507, або 20,51 %;
i1 - ? i2 - ?	2) За формулою (2.14) неперервна ставка: j = , ттоббтоо 18,65 %.

Найпоширенішим методом наближених обчислень процентних ставок є метод лінійної інтерполяції. При цьому рівняння S = P ´ (1+i)ⁿ розв’язується стосовно множника нарощення:

а = (1 + і)ⁿ; a = .

Пізніше у Таблиці 2 (Додаток 2) знаходимо для згаданого терміну дві процентні ставки та , які відповідали б виразові:

а₁ = (1 + )ⁿ (1+ )ⁿ = а₂.

При цьому а₁ та а₂ є наближчими верхнім та нижнім значеннями а. Наближене значення шуканої процентної ставки і випливає з лінійного рівняння:

(2.15)

ПРИКЛАД 14

Обчислити прибутковість інвестиції, яка характеризується місячною процентною ставкою. Початкова сума інвестиції становить 200 тис. грн., а нарощена сума становитиме 250 тис. грн. Термін інвестування - 5 місяців.

Дано: P = 200 тис. грн. S = 250 тис. грн. n = 5 міс.	РОЗВ’ЯЗОК Нехай і - шукана місячна процентна ставка. Тоді а = = (1+i)5 a 1,25.
i - ?

За Таблицею 2 (Додаток 2) знайдемо нижню та верхню границі для заданого значення а = 1,25 при 5-місячному терміні інвестування та відповідні їх процентні ставки.

= 4 % а₁ = 1,2167

= 5 % а₂ = 1,2763

1,2167 < 1,25 1,2763

Підставимо отримані значення у формулу (2.15):

.

Звідси

.

Отож, прибутковість інвестицій становитиме 4,56 %.

Для визначення терміну, на який інвестовано грошову суму Р під складні проценти за ставкою і та на фіксований період часу n з метою нагромадження суми грошей S до кінця згаданого періоду, скористаємося формулою S = P ´ (1 + i)ⁿ. З неї випливає, що термін n виражається формулою:

n = (2.16)

Слід пам’ятати, що період n виражається узгоджено із відповідним періодом процентної ставки. Скориставшись аналогічним міркуванням, можна отримати термін інвестування для неперервного нарахування процентів:

n (2.17)

ПРИКЛАД 15.

На який термін часу треба покласти 120 тис. грн. під:

а) складні проценти за ставкою 16 % річних;

б) неперервні проценти за ставкою 6 %,

щоб наростити до кінця терміну 360 тис. грн.?

Розв’язок

а) за формулою (2.16)

б) за формулою (2.17)

n = = 18,31.