2.1.1 Постановка задачи оптимизации

Рассмотрим задачу планирования распределения средств на рекламу. Пусть руководство многопрофильной торговой фирмы может выделить на планируемый период для рекламных целей денежные средства, не превышающие величину V. Служба маркетинга решает задачу оптимального распределения этих средств как поm видам рекламы, так и поn группам рекламируемых товаров.

Предварительные маркетинговые исследования позволили за ограниченный период времени собрать и обработать данные об эффективности различных видов товаров (величины прибылей, получаемых при реализации товаров определенной группы при рекламировании их тем или иным видом рекламы). Эти данные сформированы в виде матрицы удельной эффективности того или иного вида рекламы при рекламировании товаров той или иной группы. Каждый элемент такой матрицы выражает удельную прибыль, которая справедлива лишь для относительно небольшого промежутка времени жизненного цикла товара, относящегося, главным образом, к начальному этапу продвижения товара на рынке (табл.2.1).

Таблица 2.1

Матрица удельной прибыли от различных видов рекламы

Группа Вид товара рекламы	Мебель	Компью- теры	Парфю-мерия	Ткани	Автомо-били
Газета	C11	С12	С13	С14	С15
Радио	С21	С22	С23	С24	С25
Телевидение	С31	С32	С33	С34	C35
Щитовая реклама	С41	С42	С43	С44	C45

В приведенной матрице элементы C_ikвыражают прибыль (долл.), образующуюся на каждый вложенный доллар, финансирующийi-ый вид рекламы для рекламирования товараk- той группы.

В такой формулировке задача оптимизации распределения средств на рекламу представляет собой классическую задачу линейного программирования (часто называемую задачей о назначениях), в которой максимизируется прибыль при установленном уровне затрат.

Пусть средства вложения в рекламу ограничены величиной 2000 долл. в месяц, а собранные данные об удельных показателях эффективности рекламы за месяц представлены матрицей эффективности (табл.2.2).

Таблица 2.2

Матрица эффективности рекламы (долл. прибыли/долл. затрат)

Группа Вид товара рекламы	Мебель	Компью- теры	Парфю-мерия	Ткани	Автомо-били
Газета	37	32	28	27	32
Радио	42	30	31	19	29
Телевидение	40	41	39	22	47
Щитовая реклама	21	35	27	31	37

2.1.2 Построение математической модели

В качестве управляющих переменных (оптимизируемых параметров) задачи выбираем искомые объемы вложений средств в рекламу Х_ik, где индексi (i = 1,2,…,m)соответствует виду рекламы (например,i=2 ─ это радио), а индексk (k =1,2,3,…,n)отвечает определенной группе товаров (например,k=2 ─ это компьютерная группа товаров). Итак, число переменных в задачеm*n, а сумма всех переменных, то есть сумма вложений в рекламу, не может превышать установленной величиныV.

Целевая функция, отражающая стремления руководителя рекламного отдела обеспечить торговой фирме максимально возможные прибыли от использования рекламы, может быть выражена в виде:

m n

∑∑C_ikX_ik→max (2.1)

i=1 k=1

Поскольку средства, которые можно вложить в рекламу, ограничены некоторой величиной, то в систему ограничений включаем ограничение величины средств на рекламу в виде:

m n

∑∑X_ik≤V (2.2)

i=1 k=1

Дополнив ограничение (2.2) условием неотрицательности переменных

X_ik ≥ 0 (i = 1,2,..,m; k = 1,2,...,n),

получим математическую модель задачи, которая имеет вид:

4 5

∑ ∑ C_ik X_ik → max

i=1 k=1

4 5

∑∑X_ik ≤ 2000 (2.3)

i=1 k=1

X_ik ≥ 0 (i = 1,2,3,4; k = 1,2,3,4,5)

Здесь C_ik─ элементы представленной числовой матрицы эффективности (например, Х₁₂=37, Х₃₄=22 и т.д.), а X_ik ─ искомые объемы денежных вложений (в долларах) в каждый вид рекламы по каждой группе товара.