2.5 Решение задачи планирования распределения средств рекламным агентством на основе метода приоритетов

2.5.1 Постановка задачи оптимизации

Новое рекламное агентство, в составе которого 10 рекламных агентов, получило контракт на рекламу нового продукта. Агентство может провести рекламную акцию на радио и телевидении. В следующей таблице приведены данные о количестве людей, охватываемых тем или иным видом рекламы, стоимость этой рекламы и количество необходимых рекламных агентов. Все эти данные отнесены к данной минуте рекламного времени.

Таблица 2.10

	Радио	Телевидение
Рекламная аудитория (млн. чел.)	4	8
Стоимость (в тыс. долларов)	8	24
Количество рекламных агентов	1	2

Реклама на радио и телевидении должна охватить не менее 45 миллионов человек (так называемая рекламная аудитория), но контракт запрещает использовать более 6 минут рекламы на радио. Рекламное агентство может выделить на этот проект бюджет, не превышающий 100000$. Сколько минут рекламного времени агентство должно купить на радио и сколько на телевидении?

2.5.2 Построение математической модели

Данная задача относится к числу задач линейного программирования с несколькими целевыми функциями. Существует два метода для решения таких задач – это метод весовых коэффициентов и метод приоритетов. Основное назначение этих методов – преобразование исходной задачи с несколькими целевыми функциями в задачу линейного программирования с одной целевой функцией. После решения преобразований задачи получаем так называемое эффективное решение, поскольку может не существовать оптимального решения, доставляющего оптимум всем частным целевым функциям исходной задачи.

В методе приоритетов на частные цели устанавливаются приоритеты в порядке их важности. Исходная задача решается путем последовательного решения задач линейного программирования с одной целевой функцией таким образом, что решение задачи с низкоприоритетной целью не может “испортить” оптимального значения целевой функции с более высоким приоритетом.

Обозначим через Х₁и Х₂количество рекламного времени, закупленного соответственно на радио и телевидении.

Составим ограничения на основе условия задачи.

4Х₁ и 8Х₂– это количество людей, охватываемых рекламой на радио и телевидении соответственно.

Так как рекламная аудитория должна составлять не менее 45 миллионов человек, тогда можно записать следующее ограничение:

4Х₁+8Х₂ ≥ 45

8Х₁и 24Х₂ – это стоимость рекламы на радио и телевидении.

Так рекламное агентство может выделить на проект бюджет, не превышающий 100000$, то получим следующее ограничение:

8Х₁+24Х₂≤ 100

Х₁и 2Х₂ – это количество рекламных агентов на радио и телевидении.

Так как в составе рекламного агентства не может быть более 10 рекламных агентов, тогда получим еще одно ограничение:

Х₁+2Х₂≤ 10

Вместе с тем нерационально использовать более 6 минут рекламы на радио. Это можно выразить следующим ограничением:

Х₁≤ 6

Переменные Х₁и Х₂не могут принимать отрицательных значений, так как они обозначают количество минут, расходуемых на рекламу по радио и телевидению соответственно. Поэтому укажем ограничение неотрицательности:

Х₁≥ 0 и Х2 ≥ 0

Каждое из этих неравенств представляет собой одну из целей рекламного агентства, которую желательно добиться. Но эти цели могут лишь конфликтовать друг с другом, и в лучшем случае мы можем попытаться достичь какого-нибудь компромиссного решения.

Для начала каждое неравенство преобразуется в более гибкую частную задачу, в рамках которой можно удовлетворить данное ограничение. В данной задаче эти частные задачи записываются так:

4Х₁+8Х₂+S₁⁺ +S₁^- = 45

8Х₁+24Х₂+ S₂⁺ +S₂^- = 100

Х₁+2Х₂ ≤ 10 (2.10)

Х₁ ≤ 6

Х₁ , Х₂ ≥ 0

S₁⁺,S₁^-_, S₂⁺, S₂^- ≥ 0

Неотрицательные переменные S₁⁺,S_1,S₂⁺,S₂^-называются отклоняющими, поскольку они показывают отклонение значений левых частей ограничений от соответствующих величин правых частей этих же ограничений. Если исходноеi-ое ограничение является неравенством типа “≤” иS_i⁺> 0, то это ограничение выполняется. Если жеS_i^-> 0, то данное ограничение не выполняется. Таким образом, определенные значения отклоняющих переменныхS_i⁺иS_i^-либо удовлетворяютi- ое ограничение, либо нет. Это та гибкость, которая позволяет целевому программированию достичь компромиссного решения. Естественно, хорошее компромиссное решение минимизирует число невыполняемых ограничений.

В данной задаче первое ограничение является неравенством типа “≥”, а второе – неравенством типа “≤”. Вследствие этого положительные значения переменных S₁⁺иS₂^-будут указывать на то, что соответствующие ограничения не выполняются. Поэтому ведется поиск такого компромиссного решения, которое будет удовлетворять по возможности большему числу следующих частных целей (целевых функций):

Минимизировать G₁ = S₁⁺(для выполнения ограничения по рекламной аудитории)

Минимизировать G₂ = S₂^-(для выполнения условия по бюджету)