2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1. Общие сведения

Мы рассмотрим здесь лишь некоторые наиболее используемые методы решения нелинейных уравнений. Эти методы относятся к итерационным методам, т.е. методам получения последовательности точек , которая сходится к решению уравнения .

При этом итерационный процесс останавливается тогда, когда достигается заданная точность полученного результата. Говоря о точности, можно требовать получения такого приближения корня уравнения, что модуль значения функции отличается от нуля не больше, чем на заданную малую величину , т.е. .

А можно требовать локализации самого корня уравнения на отрезке так, чтобы ошибка определения корня была не больше , т.е. остановка будет производиться при нахождении такого отрезка , содержащего корень, что длина его будет не больше . Тогда, взяв в качестве корня середину этого отрезка, можно быть уверенным, что истинный корень уравнения отличается от найденного не больше, чем на , т.е. .

1. Метод хорд

Этим методом можно пользоваться в том случае, если функция непрерывна в некоторой окрестности корня уравнения.

Для начала ищется отрезок в этой окрестности, который содержал бы только один искомый корень уравнения, а значения функции на концах его были бы разных знаков. Так как функция непрерывна на этом отрезке, то ее график обязательно где-то внутри этого отрезка пересечет ось абсцисс. Эту точку х пересечения графика функции с осью ОХ, являющуюся корнем уравнения, и нужно найти.

Затем строится хорда, соединяющая точки графика функции, отвечающие концам имеющегося отрезка. Вычисляется точка пересечения этой хорды с осью ОХ. Назовем эту точку х₁. Затем определяется, на каком из отрезков или лежит корень уравнения. Если , то корень лежит на отрезке и становится правым концом нового (уже меньшего) отрезка локализации корня, а – левым концом этого отрезка. При этом производят переименование и .

Если , то корень – на отрезке и становится левым концом нового отрезка локализации корня, а – правым концом этого отрезка, т.е. и .

Теперь имеется уже новый отрезок локализации корня. С ним проделывается та же процедура построения хорды и поиска точки ее пересечения с осью ОХ – точки . Остановка производится при нахождении такого приближения , что .

Э тот процесс можно увидеть на рис.1.

Рис.1

Формула для получения точки пересечения хорды с осью ОХ на каждом шаге имеет следующий вид:

. Часто вместо этого метода используют метод деления пополам, где очередное приближение находят по формуле . При этом отрезок локализации по длине можно сжать до какого угодно наперед заданного значения. Поэтому остановка процесса может быть произведена при выполнении условия .

2. Метод касательных Ньютона

Этот метод можно использовать в случае выполнения следующих требований к функции :

1. На найденном отрезке локализации корня должна иметь единственный корень и значения функции на концах этого отрезка должны быть разных знаков, т.е. .

2. должна иметь непрерывную вторую производную на этом отрезке.

3. Кроме того, на отрезке вторая производная функции

должна сохранять свой знак.

Тогда в качестве начального приближения корня выбирается по следующему правилу:

Затем в точке с абсциссой строится касательная к графику функции . Точка пересечения этой касательной с осью ОХ берется в качестве следующего приближения корня . И так процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность .

Если достаточно получить точку, в которой не превышает по модулю заданное число , то производят остановку при выполнении этого условия.

Если же надо получить приближение корня, отстоящее от истинного его значения не более чем на , то процесс останавливают тогда, когда выполняется следующее условие:

, где

и

Процесс можно увидеть на рис.2.

Рис.2

Формула для вычисления точки пересечения касательной с осью ОХ имеет следующий вид: