Определить давление в сечениях газопровода через каждые 10 км, если известно:

,

где

– коэффициент сверхсжимаемости,

p – давление,

Т – температура,

– формула Шухова,

– критическое давление

– критическая температура,

T₀ – начальная температура,

T_H – температура окружающей среды,

p₀ – начальное давление,

k – шероховатость поверхности,

d – диаметр газопровода,

M – массовый расход,

Q – коммерческий расход,

C_p =2500 Дж/кг·К –теплоемкость,

коэффициент теплопередачи,

R=470 Дж/кмоль·К,

L – длина участка газопровода,

Данные по вариантам:

№ вар.	L, км	d, мм	Q, млн. куб.м/сут.	P0, МПа	TH,	T0,	,	k, мм
1	100	800	1.5	5.7	8	60	1.5	0.03
2	120	1000	2.5	5.5	10	55	2.0	0.05
3	130	1200	3.5	5.5	6	55	1.7	0.05
4	140	1000	2.0	5.3	10	50	1.8	0.03
№ вар.	L, км	d, мм	Q, млн. куб.м/сут.	P0, МПа	TH,	T0,	,	k, мм
5	150	1200	3.2	5.8	5	62	1.2	0.04
6	110	800	1.0	5.2	10	50	1.5	0.05
7	120	1200	3.0	5.3	9	55	1.2	0.04
8	160	1000	1.0	5.3	8	60	2.0	0.05
9	130	1100	1.7	5.5	7	50	1.7	0.05
10	150	1000	2.0	5.6	6	55	1.5	0.03
11	120	800	3.0	5.8	8	60	1.2	0.04
12	170	1000	1.5	5.7	10	55	1.5	0.04
13	130	1200	2.5	5.6	7	50	2.0	0.04
14	150	1000	3.5	5.5	10	50	1.7	0.05
15	160	800	1.8	5.4	9	60	1.5	0.03
16	150	1000	1.0	5.5	8	50	1.8	0.03
17	130	1200	3.0	5.3	6	60	1.7	0.04
18	140	1200	3.5	5.2	7	55	1.2	0.03
19	110	1000	2.5	5.3	5	63	1.8	0.04
20	140	800	2.5	5.3	5	56	1.7	0.05
21	110	800	1.5	5.6	10	55	1.5	0.04
22	150	1000	1.5	5.7	9	60	2.0	0.03
23	130	1200	3.2	5.8	8	50	2.0	0.03
24	120	1000	3.3	5.5	5	55	1.7	0.05

7.2.2. Задача №2

Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося вещества. Можно написать дифференциальное уравнение, отображающее скорость изменения количества радиоактивного вещества: , где y – это количество вещества в момент времени t. Пусть k=0.01 и количество вещества, имеющегося на момент времени t₀=0 равно y₀=100 г. Требуется найти количество вещества, которое останется на момент времени t=100.

Эта задача проста с точки зрения математики, и для нее можно указать аналитическое решение. Оно имеет следующий вид:

, так что при t=100 получаем y(100)=36.788 г

Это точное решение поможет нам сравнить работу разных методов и проследить накопление ошибки при подсчете значения y(100).

Решите задачу по данным своего варианта (указанным методом и с заданным шагом) и сравните значение y(100) с точным значением.

Данные по вариантам:

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8
Ме-тод	Эйле-ра	Эйле-ра	Эйле-ра	Эйле-ра	Моди-фици-рован-ный Эйле-ра	Моди-фици-рован-ный Эйле-ра	Рунге-Кутта	Рунге-Кутта
h	25	10	5	1	20	10	100	50

7.3. Лабораторная работа №12

Решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта

7.3.1. Задача №1

Решить предлагаемую задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом Рунге-Кутта, где и шаг . Полученное численное решение сравнить с точным решением , приведенным в вариантах задания.

Данные по вариантам:

1. 

точное решение:

2.

точное решение:

3.

точное решение:

4.

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. ,

точное решение:

5. 

точное решение:

5. ,

точное решение:

5. ,

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

5. 

точное решение:

28.

точное решение:

29.

точное решение:

30.

точное решение:

31.

точное решение:

32.

точное решение:

7.3.2. Задача №2

Дифференциальное уравнение движения некоторого тела массой m под действием силы , испытывающего внешнее сопротивление среды, пропорциональное скорости v, имеет вид:

, где:

масса тела ,

а=5,

,

скорость тела в данный момент времени.

Определить скорость тела через время t после начала движения. Задание выполнить по данным своего варианта, применив для решения метод Рунге-Кутта с указанным шагом h.

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t, сек.	1.5	1.5	1.5	3.0	3.0	3.0	6.0	6.0	6.0	6.0
h, сек.	.075	.15	.30	.30	.15	.60	.30	.60	1.2	3.0

7.3.3. Задача №3

Решить задачу №1 из лабораторной работы №11 методом Рунге-Кутта.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Наука, 1982

2. Гудман С., Хидетниеми С. Введение в разработку и анализ алгоритмов. – М.: Мир, 1981

3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1, 2. – М.: Наука, 1966

4. Арсеньев-Образцов С.С., Жукова Т.М., Кузьмин В.С. Сборник задач по алгоритмизации и программированию на ЭВМ, М.: МИНГ, 1987

5. Лурье М.В. Вычислительный практикум по трубопроводному транспорту нефти, нефтепродуктов и газа. – М.: Изд-во Нефть и газ, 1977

6. Проблемы снижения пластовых и поверхностных потерь нефти в пермском приуралье, сб. статей. – М.: ИГиРГИ, 1982

7. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2001

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

1. Погрешности вычислений………………………………………………. 3

1.1. Основные определения и свойства…………………………………… 3

1.2. Пример (определение верных значащих цифр приближенного

числа)…………………...…………………………………………….... 5

1.3. Пример………………………………………………………………….. 6

1.4. Лабораторная работа №1. Оценка погрешностей результата вычис-

лений…………………………………………………………………... 8

2. Методы решения нелинейных уравнений……………………………… 10

2.1. Общие сведения………………………………………………………... 10

2.1.1. Метод хорд…………………………………………………………… 10

2.1.2. Метод касательных Ньютона……………………………………….. 12

2.1.3. Пример 1……………………………………………………………… 13

2.1.4. Пример 2……………………………………………………………… 14

2.2 Лабораторная работа №2. Решение нелинейного уравнения мето-

дом хорд………………………………………………………………. 16

2.2.1. Задача №1……………………………………………………………. 16

2.2.2. Задача №2……………………………………………………………. 17

2.2.3. Задача №3……………………………………………………………. 18

2.3. Лабораторная работа №3. Решение нелинейного уравнения мето-

дом Ньютона…………………………………………………………. 20

2.3.1. Задача №1……………………………………………………………. 20

2.3.2. Задача №2……………………………………………………………. 21

2.3.3. Задача №3……………………………………………………………. 23

3. Методы решения системы линейных уравнений……………………... 25

3.1. Основные понятия…………………………………………………….. 25

3.1.1. Метод Гаусса………………………………………………………… 26

3.1.2. Метод простой итерации…………………………………………… 28

3.1.3. Пример 1…………………………………………………………….. 30

3.1.4. Пример 2…………………………………………………………….. 31

3.2. Лабораторная работа №4. Решение систем линейных уравнений… 33

4. Решение систем нелинейных уравнений……………………………… 36

4.1. Основные понятия……………………………………………………. 36

4.1.1. Метод простой итерации…………………………………………... 36

4.1.2. Метод Ньютона…………………………………………………….. 38

4.1.3. Пример 1…………………………………………………………….. 40

4.1.4. Пример 2…………………………………………………………….. 40

4.2. Лабораторная работа №5. Решение систем нелинейных уравнений

методом простой итерации………………………………………….. 42

4.3. Лабораторная работа №6. Решение систем нелинейных уравнений

методом Ньютона…………………………………………………….. 43

5. Интерполяция и аппроксимация функции…………………………….. 45

5.1. Основные определения……………………………………………….. 45

5.1.1. Интерполяция функции…………………………………………….. 45

5.1.2. Аппроксимация функции…………………………………………… 46

5.1.3. Пример 1…………………………………………………………….. 47

5.1.4. Пример 2…………………………………………………………….. 48

5.1.5. Пример 3…………………………………………………………….. 49

5.2. Лабораторная работа №7. Определения коэффициентов функцио-

нальной зависимости с помощью метода наименьших квадратов.. 51

5.2.1. Задача №1……………………………………………………………. 51

5.2.2. Задача №2……………………………………………………………. 52

5.3. Лабораторная работа №8. Построение интерполяционного много-

члена Лагранжа……………………………………………………….. 54

5.3.1. Задача №1……………………………………………………………. 54

5.3.2. Задача №2……………………………………………………………. 57

5.3.3. Задача №3……………………………………………………………. 58

6. Численное интегрирование……………………………………………... 59

6.1. Основные определения………………………………………………... 59

6.1.1. Метод прямоугольников…………………………………………….. 61

6.1.2. Метод трапеций……………………………………………………… 62

6.1.3. Метод Симпсона……………………………………………………... 62

6.1.4. Пример 1…………………………………………………………….. 64

6.1.5. Пример 2…………………………………………………………….. 65

6.1.6. Пример 3…………………………………………………………….. 65

6.2. Лабораторная работа №9. Вычисление определенного интеграла

методом Симпсона…………………………………………………… 66

6.2.1. Задача №1……………………………………………………………. 66

6.2.2. Задача №2……………………………………………………………. 68

3. Лабораторная работа №10. Вычисление определенного интеграла

методом трапеций…………………………………………………….. 69

6.3.1. Задача №1……………………………………………………………. 69

6.3.2. Задача №2……………………………………………………………. 71

7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений 1-го порядка…………………………………………… 73

7.1. Основные понятия…………………………………………………….. 73

7.1.1. Метод Эйлера………………………………………………………... 74

7.1.2. Модифицированный метод Эйлера………………………………... 74

7.1.3. Метод Рунге-Кутта………………………………………………….. 75

7.1.4. Пример 1……………………………………………………………… 76

7.1.5. Пример 2……………………………………………………………… 78

7.1.6. Пример 3……………………………………………………………… 80

2. Лабораторная работа №11. Решение задачи Коши для обыкновен-

ных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Эйлера.. 82

7.2.1. Задача №1……………………………………………………………. 82

7.2.2. Задача №2……………………………………………………………. 84

7.3. Лабораторная работа №12. Решение задачи Коши для обыкновен-

ных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом Рунге-

Кутта………………………………………………………………..….. 85

7.3.1. Задача №1……………………………………………………………. 85

7.3.2. Задача №2……………………………………………………………. 88

7.3.3. Задача №3……………………………………………………………. 89

Список литературы………………………………………………………… 90

ЧЕН-СИН Эмилия Павловна

ПАНЮШЕВА Людмила Николаевна

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО КУРСУ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Учебное пособие

Издание 2-е исправленное и дополненное

Сводный тем. План 2004

Подписано в печать Формат 60х90/16

Объем 3,8 уч.-изд. л. Тираж 300 экз.

Заказ №

Издательство “Нефть и газ” РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина