2. Графическое решение векторных уравнений

Рассмотренные выше векторные уравнения могут быть решены ана­литически или графически. В инженерных расчетах более наглядными и простыми являются графические решения векторных уравнений. Графическое решение векторных уравнений сводится к построению планов скоростей точек механизма, определению их модулей и расчету угловых скоростей звеньев.

1. Планы скоростей шатуна шарнирного четырехзвенника

Рассмотрим уравнение

Если известна скорость v_B полюса В и направление относительной скорости ν_св (рис. 6), то для определения скорости v_c нужно знать ее направление. Это и будет линия действия скорости ν_св. Вектор скорости v_c будет замы­кающим двух векторов ν_в и ν_св, поэтому он должен выходить из полюса V. Проводим из полюса V линию Vc || (у - у) до пересечения с линией bc в точке с. В результате получим векторный треугольник Vbc, который соответствует векторному уравнению. Стрелку скорости v_B ставим к точке b. Стрелку скорости ν_св направляем к точке c, т.к. происходит сложение векторов ν_в и ν_св. Стрелку скорости v_C направляем к точке С, т.к. вектор v_c является замыкающим, т.е. геометрической суммой векторов ν_в и ν_св.

Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Определим числовые значения скоростей

v_CB = μ_V · bc

Если вектор ν_св перенести в точку С, то шатун 3 будет вращаться против часовой стрелки относительно полюса В. Направляем стрелку вектора ω₃ влево (рис. 9)

Числовое значение угловых скоростей( рад/с. ) определяем по формуле

ω ₃ = v_cb / l₃

ω₄ = v_C / l₄

Для определения скорости точки Е шатуна 3, лежащей в его средине, нужно вектор ее на плане скоростей разделить тоже пополам и его середину е соединить с полюсом. Вектор Ve = v_E, а его числовое значение

v_E = μ_V ·Ve

Рисунок 9

Рассмотрим графическое решение векторного уравнения.

На рис. 9 изображено звено 3 (ВС), а тонкими линиями звенья 2 (АВ) и 4 (CD). Точку В выбираем в качестве полюса, т.к. о ней мы имеем полную информацию: задана угловая скорость звена 2 -ω₂ и радиус кривошипа АВ, равный r₂. По формуле определяем скорость ν_св. Проводим из точки В вектор скорости ν_в АВ. Через точку С проводим пунктирную линию (х - x) BC, соответствующую направлению скорости ν_св, и (у - y) CD, соответствующую направлению скорости v_C.

План скоростей – это векторный многоугольник скоростей. Вначале анализируется исходное уравнение:

У вектора ν_в известны модуль и направление (подчёркнут двумя чертами), у вектора ν_св известно только направление ( подчёркнут одной чертой ). У вектора v_c известно тоже только направление.

Построение плана скоростей начнем с выбора длины вектора скоро­сти ν_в и масштабного коэффициента скорости μ_V. Если ν_в=3,3 м/с, а длина вектора ν_в = 70 мм, то

μ_V= v_B (м/с) / v_B (мм) = 3,3 / 70 = 0,047 0,05 (м/с)/мм.

Так как масштабный коэффициент округлили, то необходимо уточнить длину отрезка вектора скорости.

На плане скоростей (рис.9) выбираем произвольно положение полюса V и из него перпендикулярно АВ откладываем вектор v_B Получаем точку в в конце вектора. Согласно векторному уравнению к вектору v_B пристраиваем вектор v_CB, о котором знаем только направление. Для этого через точку в проводим линию вс || (х - х) в обе стороны от точки в. Вектор скорости будет замыкающим этих двух векторов и выходить из полюса .

Из полюса перпендикулярно СД проводим линию до пересечения ее с линией вс в точке с. В результате получим векторный треугольник. Длина каждого вектора в миллиметрах на плане скоростей выражает его модуль. Числовые значения скоростей

v_cb= μ_V •вс

v_c= μ_V •Vс

Для определения направления угловой скорости звена 3 необходимо перенести вектор v_cb в точку С. Его направление и покажет направление угловой скорости звена.

Числовые значения угловых скоростей определяются по формулам:

ω ₃ = v_cb / l₃

ω₄ = v_C / l₄

Для определения скорости точки Е , лежащей в середине шатуна, нужно в соответствии с теоремой подобия вектор ВС на плане скоростей также разделить пополам и его середину е соединить с полюсом.

Теорема подобия для планов скоростей звеньев:

Отрезки прямых линий, соединяющие точки одного и того же звена на планах механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на планах скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры.