Для последующих i-ых интервалов
|
|
yi yi 1 |
(x x |
) |
i |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i i |
i 1 |
|
|
|
|
|
||
ai |
xi xi 1 |
|
|
|
|
|
|
, |
bi i 3ai xi 1 , |
||||||
(x x |
)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ci i |
3ai xi2 1 2bi xi 1 , |
|
|
di yi 1 ai xi3 1 bi xi2 1 ci xi 1 , |
|||||||||||
где |
|
i |
3a |
i 1 |
x2 |
2b |
x |
i 1 |
c |
i 1 |
|||||
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
||||||||
|
|
i |
3ai 1 xi 1 bi 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Пример. Построить кубический сплайн функции f(x)=sin(x) для n=5.
xi |
yi |
ai |
bi |
ci |
di |
|
0 |
0 |
-0,1473 |
0 |
1 |
0 |
|
/2 |
1 |
0,22034 |
-1,7323 |
3,721 |
-1,425 |
|
|
0 |
-0,2181 |
2,3994 |
-9,259 |
12,17 |
|
3 /2 |
-1 |
|||||
|
|
|
|
|||
2 |
0 |
1,168 |
-17,194 |
83,07 |
-132,87 |
F"(x0)=-sin(0)=0; F'(x0)=cos(0)=1; sin(3 /4)=0,7072 , интерполируемое значение S(3 /4)=0,608
График сплайн-интерполяция для рассмотренного примера
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.003 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.778 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
0 |
|
|
|
x Xi |
|
|
6.283 |
Лекция 4 Аппроксимация табличных данных и функций.
Численное решение систем линейных уравнений
Аппроксимация
Наиболее распространенным методом аппроксимации данных является метод наименьших квадратов.
Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: yi=f(xi), i=0,1, ..n.
Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности среднего квадратического отклонения
|
1 |
n |
|
|
( yi (xi ))2 |
||
|
|||
|
n 1 i 0 |
||
Критерий близости записывается в следующем виде
n
( yi (xi ))2 min
i0
Вотличие от задачи интерполяции не требуется,
чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки.
Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций.
Аппроксимация прямой
Из всех прямых (x) = ax + b выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений значений функции от этой прямой минимальна.
|
N |
2 |
F(a,b) ( yi axi b) |
min |
|
|
i 0 |
|
F |
N |
|
2 xi ( yi axi b) 0 |
||
a |
i 0 |
|
F |
N |
|
2 ( yi axi b) 0 |
||
b |
i 0 |
|
Значения коэффициентов прямой
|
|
|
n |
|
n |
n |
|
a |
(n 1) xi yi |
xi yi |
|||||
|
i 0 |
i 0 |
i 0 |
||||
|
n |
|
n |
|
|
||
|
|
(n 1) xi2 |
( xi )2 |
||||
|
|
|
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
|
n |
n |
n |
|
n |
|
b |
xi2 |
yi |
xi |
xi yi |
|||
i 0 |
i 0 |
i 0 |
i 0 |
||||
|
n |
|
n |
||||
|
|
(n 1) xi2 ( xi )2 |
|||||
|
|
|
i 0 |
|
i 0 |
||
Аппроксимация полиномом с помощью МНК
Требуется найти полином фиксированной степени m, для которого СКО
|
1 |
n |
|
|
(Pm (xi ) yi )2 |
||
|
|||
|
n 1 i 0 |
||
|
|
минимально. |
|
n |
2 |
n |
|
m |
j |
2 |
(Pm (xi ) yi ) |
|
|
|
a j xi |
|
|
|
|
|
yi |
|||
i 0 |
|
i 0 |
|
j 0 |
|
|
Нормальная система уравнений МНК
Используя необходимое условие экстремума, получим
m |
|
n |
|
n |
|
|
|
xij k a j |
yi xik |
, |
k=0,1,..m. |
||
j 0 |
i 0 |
|
i 0 |
|
|
|
Полученная система есть система линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных a0,a1,a2….am.