Так как искомый полином li(x) обращaется в нуль в n точках,
то он имеет вид
li(x) = Ci (x – x0) (x - x ) … (x - xi- ) (x - xi + ) ... (x - xn)
где Сi - постоянный коэффициент.
Полагая х = xi и учитывая, что li(xi) = yi, получим
Ci (xi x0 )(xi x1)...(xi yxi i 1)(xi xi 1 )...(xi xn )
Интерполяционная формула (интерполяционный полином) Лагранжа.
n |
(x x0 )(x x1 ) (x xi 1 )(x xi 1 ) (x xn ) |
|
||||||||||||||||
Ln (x) yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
i |
x |
0 |
)(x |
i |
x ) (x |
i |
x |
i 1 |
)(x |
i |
x |
) (x |
i |
x |
n |
) |
|
i 0 |
|
|
|
1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
||||||||
Пример. Пусть заданы значения x0=1; x1=3; x2=7; x3=12;
и y0=5,6; y1=6,7; y2=8,1; y3=10,3.
Определить значение неизвестной функции для х = 6,5.
L (x) |
(x x1)(x x2 )(x x3 ) |
|
y |
0 |
|
|
(x x0 )(x x2 )(x x3 ) |
y |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
(x0 x1)(x0 x2 )(x0 x3 ) |
|
|
|
|
|
|
(x1 x0 )(x1 x2 )(x1 x3 ) |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x x0 )(x x1)(x x3 ) |
|
y |
2 |
|
|
|
(x x0 )(x x1)(x x2 ) |
y |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(x2 x0 )(x2 x1)(x2 x3 ) |
|
|
|
|
|
(x3 x0 )(x3 x1)(x3 x2 ) |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L (x) |
(x 3)(x 7)(x 12) |
5,6 |
(x 1)(x 7)(x 12) |
6,7 |
||||
|
|
|||||||
3 |
132 |
|
|
72 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
(x 1)(x 3)(x 12) |
8,1 |
(x 1)(x 3)(x 7) |
10,3 |
||||
120 |
495 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
L3(6,5)=7,9
Интерполяционный многочлен Ньютона с
разделенными разностями
f (xi ; xi 1 ) |
f (xi 1 ) f (xi |
) |
|
разделенная разность |
||||
xi 1 |
xi |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
первого порядка. |
||
f (xi ; xi 1 |
; xi 2 ) |
|
f (xi 1; xi 2 ) |
f (xi ; xi 1 ) |
разделенная разность |
|||
|
|
xi 2 |
xi |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
второго порядка. |
||
Разделенная разность порядка k 2 |
||||||||
f (xi ; xi 1 |
;...xi k ) |
f (xi 1;...xi k ) |
|
f (xi ;...xi k 1 ) |
|
xi k |
|
xi |
|||
|
|
Интерполяционный многочлен Ньютона
Pn (x) f (x0 ) f (x0 ; x1) (x x0 ) f (x0 ; x1; x2 ) (x x0 ) (x x1) ...
f (x0 ; x1;...xn ) (x x0 ) (x x1 )...(x xn 1 )
Пример. Необходимо построить интерполяционный многочлен Ньютона:
x |
-1 |
0 |
1 |
2 |
y |
4 |
2 |
0 |
1 |
Таблица разделенных разностей
x |
f(x) |
f(xi; xi+1) |
f(xi; xi+1; |
f(xi; xi+1; xi+2; |
|
xi+2) |
xi+3) |
||||
|
|
|
|||
-1 |
4 |
-2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||
0 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
-2 |
|
1/2 |
|
1 |
0 |
|
3/2 |
|
|
|
|
1 |
|
||
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
Интерполяционный многочлен Ньютона:
P3 (x) 4 2(x 1) 12 (x 1)x(x 1) 12 x3 52 x 2
Погрешность полиномиальной интерполяции
Предположим, что во всех точках х [a, b] функция f(x) имеет (n+1) непрерывную производную.
Тогда абсолютная ошибка интерполяции(x)=| f(x)– Pn(x) | определяется выражением
|
M n 1 |
|
hn 1 |
|
4(n 1)! |
||||
|
max |
|||
где Mn 1 max f (n 1) (x)
- максимальное значение (n+1)-й производной функции f(x) на интервале [a, b]; hmax=max hi , hi=xi - xi-1.
Интерполирующий полином высокой степени может иметь большие колебания значений функции в точках, отличных от узлов интерполяции, Поэтому на практике обычно используют
интерполяционные полиномы степени не выше 5-6.
Функция Рунге
R(x)=1/(1+25x2)
Пример. Пусть требуется составить таблицу функции y=ln x на отрезке [1,10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не более=10-2?
Запишем остаточный член интерполяции при линейной
интерполяции
R1(x) 4M22!h2.
Так как |
|
|
2 |
|
то |
M 2 |
max f 1 |
||
|
f (x) |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
[1,10] |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда h2 8 10-2. Следовательно, h<0,3.
Сплайн - интерполяция
На практике чаще всего используют кубический сплайн.
Для получения расчетных выражений коэффициентов сплайна дополнительно накладывается ограничение совпадения первых и вторых производных в узлах интерполяции. Для n интервалов интерполяции необходимо составление 4n уравнений для определения неизвестных коэффициентов:
1
В случае задания в начальном узле интерполяции значений первой и второй производной для кубического сплайна их коэффициенты могут быть получены по следующим рекуррентным выражениям:
Для первого интервала
|
|
y1 |
y0 |
|
0,5 f (x |
|
)(x |
|
x |
) |
f (x ) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
x1 x0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
, b1 1 f (x0 ) 3a1 x0 , |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
(x1 |
|
x0 )2 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
с f (x ) 3a x2 |
2b x |
, |
d1 y1 a1 x03 b1 x02 c1 x0 , |
|||||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
где значения |
f (x |
|
) |
и |
|
|
|
должны быть |
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
f (x0 ) |
заданы. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||