10. 3. Цилиндрический изгиб жёстких пластинок

Рассмотрим длинную прямоугольную пластинку (а/в > 3) , шарнирно опёртую вдоль длинных сторон на неподвижные опоры (рис. 9.5).

Рис. 10.5 Цилиндрический изгиб пластины

Выберем начало координат в угловой точке срединной поверхности пластины. Ось x направим вдоль длинной стороны, ось y - перпендикулярно к ней, а ось Z (прогибов w) - перпендикулярно к срединной плоскости.

пластинка нагружена поперечной нагрузкой р , изменяющейся толь­ко вдоль оси y . Это значит, что все элементарные полоски пластинки, параллельные оси y, нагружены тождественно. В этом случае пластинка будет изгибаться по цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси X . Отклонение от цилиндрической поверхности имеет место только вблизи коротких сторон. Следовательно, прогибы пластинки и на­пряжения будут функциями лишь одной координаты у. Такая деформация пластинки называется цилиндрическим изгибом.

Мысленно вырежем из пластинки полоски, параллельные оси y шириной, равной единице и рассмотрим их напряжённое и деформи­рованное состояние.

Если бы балки-полоски были изолированными, то их деформация в направлении оси X при изгибе была бы свободной. Поперечные сечения в этом случае принимали бы вид, показанный на ри­с. 10.5, в. Однако в пластинке эти балки-полоски работают совместно. Слева и справа от выделенной полоски находятся такие же полоски, кото­рые стесняют её деформацию в направлений оси Х (ε_х = 0) и поперечные сечения остаются прямоугольными (рис. 10.5,б).

Выразим напряжение σ_х через напряжение σ_у. Используем условие стеснения – относительная деформация вдоль оси х равна ε_х = 0. На основании закона Гука для плоского напряжённого состояния имеем

,

Здесь μ – коэффициент Пуассона. Его величина у различных материалов изменяется в пределах от 0 до 0,5.

Отсюда

Определим деформацию продольных волокон пластинки вдоль оси y

Полученную зависимость можно сформулировать так: волокна балки-полоски деформируются так, как если бы они находились в одноосном напряжённом состоянии, но модуль упругости был бы ра­вен вместо E.

Так как момент инерции полоски-балки то её изгибная жёсткость D равна

(10.1)

Величина d называется цилиндрической жёсткостью пластинки.

Из выражения (10.1) следует, что цилиндрическая жёсткость пластинки больше жёсткости изолированной балки-полоски. Это объ­ясняется тем, что слои пластинки, параллельные её срединной плоскости, при изгибе находятся в плоском напряжённом состоянии с напряжениями σ_х и σ_у одинакового знака.

10.4. Основные допущения теории изгиба пластинок

При расчёте пластинок используют ряд гипотез.

Гипотеза прямых нормалей. Точки, лежащие на нормали к срединной плоскости недеформированной пластинки после деформации лежат на нормали к изогнутой поверхности.

Гипотеза плоского напряжённого состояния. При изгибе пластинки слои, параллельные срединной плоскости, не надавливают друг на друга, материал этих слоев находится в плоском напряженном состоянии.

Гипотеза о недеформируемости срединной поверхности. Срединная поверхность при местном изгибе и кручении не испытывает деформации удлинения или сдвига, а лишь изгибается как абсолютно гибкая мембрана. В ней при местном изгибе и кручении не возникают напряжений.

Гипотеза об идеальной упругости и изотропности пластинки. Считают, что пластинка обладает одинаковыми свойствами в различных направлениях и её материал подчиняется закону Гука.

В соответствии с принятыми допущениями напряжённое состояние элемента изогнутой жёсткой пластинки будет иметь сле­дующий вид (рис. 10.6):

- по граням элемента действуют нормальные σ_x , σ_у и ка­сательные _ху, _ух напряжения;

- эти напряжения изменяют­ся по толщине пластинки по ли­нейному закону, принимая наи­большие значения у поверхнос­тей и нулевое – в срединном слое;

- так как напряжённое сос­тояние слоев, параллельных срединной плоскости, является плоским, касательные напряжения подчиняются закону парности, то есть для точки слоя А _ху = _ух.

Рис. 10.6 Напряжённое состояние элемента изогнутой жёсткой пластинки