Вопрос 25. Понятия контуpа пеpесчета (цикла) . Пpизнак оптимальности плана.

После того, как получено допустимое решение, его надо проверить на оптимальность с помощью метода потенциалов. Перед проверкой убеждаемся, что число заполненных клеток равно соотношению m+n-1. В нашей таблице их 3+3-1=5.  

Признак оптимальности: решение оптимально, если во всех свободных клетках выполняется неравенство: α_i + c_ij ≥ β_j, где α_i и β_j – потенциалы, c_ij – тарифы перевозок. Вычислим α_i и β_j с помощью выше указанного неравенства:

 

 

Принято считать, что α₁ всегда равно 0. Если не сделать это допущение, то задача не будет иметь решение. Вычисления остальных значений потенциалов производят по базовым (заполненным) клеткам: α₁ = 0 β₁ = 3 + 0 = 3 β₂ = 2 + 0 = 2 α₂ = 2 — 1 = 1 α₃ = 2 — 3 = -1 β₃ = -1 + 3 = 2  

Проверку на оптимальность делают по свободным клеткам с помощью этого же неравенства: А₁В₃: 0 + 1 ≥ 2 – нет А₂В₁: 1 + 1 ≥ 3 – нет А₂В₃: 1 + 4 ≥ 2 – да А₃В₁: -1 + 2 ≥ 3 – нет  

В результате проверки мы выявили три недостаточные клетки. Находим цикл пересчета:

цикл пересчета – это ход ладьи по базовым клеткам с чередованием знаков «+» и «-», начиная с недостаточной клетки и замыкаясь в ней же.

 

 

В клетках с минусовыми отметками выбирает минимальное число. В нашем случае это число равно 100. Пересчет делают следующим образом: где стоит знак «-» это число отнимают, а где «+» то прибавляют. Значения, не входящие в цикл пересчета переписывают без изменений. Получает таблицу, в которой соотношение m+n-1 не выполняется, и поэтому выбираем клетку с минимальным тарифом и, проставляя в ней ноль, считаем ее условно базовой:

 

 

Вначале транспортные расходы составляли 1400 у.е. Считаем сейчас: f₂ = 2×100 + 2×150 + 1×100 + 3×200 = 1200 у.е. Уменьшение этого показателя говорит о том, что мы на верном пути.  

Полученное решение снова проверяем на оптимальность:

 

 

Проверка выявляет одну недостаточную клетку, для которой находим цикл пересчета: А₁В₁: 0 + 3 ≥ 0 – да А₁В₃: 1 + 0 ≥ 1 – да А₂В₁: 1 + 1 ≥ 0 – да А₃В₂: -2 + 3 ≥ 2 – нет  

В отрицательных клетках из двух значений выбираем число 150, которое отнимаем, где знак «-» и прибавляем где знак «+»:

 

 

Транспортные расходы: f₃ = 2×100 + 3×150 + 1×100 + 1×150 + 3×50 = 1050 у.е.  

Проверяем снова на оптимальность и убеждаемся, что найден оптимальный план: А₁В₁: 0 + 3 ≥ 0 – да А₁В₂: 0 + 2 ≥ 1 – да А₂В₁: 0 + 1 ≥ 0 – да А₂В₃: 0 + 4 ≥ 1 – да  

Ответ: f = 1050 у.е.              

Вторая версия

Ответа

Оптимизация опорного решения

1. Метод оценки циклов

Метод состоит в том, что для каждой свободной клетки составляется и оценивается цикл. Цикл, это прямоугольная фигура, в которой все клетки, кроме первой, заняты. Наиболее типичные примеры циклов приведены на рисунке. 2.5.2.

  Рисунок 2.5.2 – Примеры циклов транспортных перестановок

В таблице 2.5.3 приведены циклы для исходной задачи, представленной в таблице 2.5.1. В пустой клетке ставим минус, а далее по порядку плюс, минус, плюс, минус и т.д.

Таблица 2.5.3

Составление и оценка циклов для оптимизации плана перевозок

Оценки циклов:

	- +72-22+16-40=+26;
	- +25-22+16-52=-33;
	- +40-22+16-52+12-11=-17;
	- +15-70+22-8=-41;
	- +10-8+16-40=-22;
	- +4-8+16-52=-40;
	- +15-11+12-52+16-8=-28;
	- +27-70+22-16=-37;
	- +52-52+12-11=+1;
	- +55-70+22-16+52-12=31;
	- +8-16+52-12=+32;
	- +52-40+52-12=+52.

Перестановки осуществляются по циклу с наибольшей по модулю отрицательной оценкой. В данном случае это цикл, составленный для клетки А₂-В₄, имеющий оценку минус 40. По циклу переставляется минимальное число, стоящее в отрицательной вершине. Здесь в отрицательных вершинах стоят 154 и 127 единиц товаров. Переставляем 127, путем вычитания этого числа из отрицательных вершин и прибавления в положительные.

В результате получается новый план, приведенный в таблице 2.5.4.

Таблица 2.5.4

План перевозок после первой перестановки
Запасы  поставщиков	Потребности потребителей
	B1=100	B2=200	B3=50	B4=252	B5=77
A1=152	70	22	72	25	40
	100	52
A2=127	15	8	10	4	15
				127
A3=225	27	16	40	52	52
		148	50	27
A4=175	55	8	52	12	11
				98	77

Для этого плана снова составляются и оцениваются все циклы, Процедура повторяется до тех пор, пока есть отрицательные циклы.

После каждой итерации вычисляется целевая функция – суммарные затраты на перевозку. В данном случае

F=70×100+22×52+4×127+16×148+40×50+  +52×27+12×98+11×77=16447 у.д.е.

При использовании данного метода для наглядности каждый цикл рекомендуется обозначать своим цветом.

Рассмотрим правило «минимального элемента». Суть его состоит в следующем. Просматривая тарифы распределительной таблицы, в первую очередь заполняется клетка с минимальным значением тарифа. При этом в клетку записывается максимально возмож-ное значение поставки. Затем из рассмотрения исключают строку, соответствующую по-ставщику, запасы которого полностью израсходованы, или столбец, соответствующий потребителю, спрос которого полностью удовлетворен. После этого из оставшихся клеток таблицы снова выбирают клетку с наименьшим тарифом. Процесс распределения закан-чивается, когда все запасы поставщиков исчерпаны, а спрос потребителей полностью удовлетворен. В результате получаем опорный план, который должен содержать загруженных клеток. В процессе заполнения таблицы могут быть одновременно исклюю-чены строка и столбец. Так бывает, когда полностью исчерпывается запас груза и пол-ностью удовлетворяется спрос (вырожденная задача). В этом случае в свободные клетки надо записать число 0 – «нуль-загрузку», условно считая такую клетку занятой. Однако число 0 записывается в те свободные клетки, которые не образуют циклов с ранее заня-тыми клетками.