Скачиваний:
67
Добавлен:
15.06.2014
Размер:
124.83 Кб
Скачать

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

Кафедра РТС

Лабораторная работа №4

Теоретико-числовые преобразования

Выполнил: Проверил:

Ст. гр. 941201 Ходыко Д. Л.

Зарецкий Д. В.

Минск 2012

Цель работы:

1. Изучить алгоритмы цифровой обработки сигналов на основе теоретико-числовых преобразований в конечном поле или кольце целых чисел по модулю чисел Ферма и по методу чисел Мерсенна.

2. Получить навыки моделирования теоретико-числовых преобразований в среде Matlab.

Ход работы:

1)Определение параметров ТЧП

По полученным параметрам N=7 и ε=2 определили модуль M ТЧП :

Рассчитаем модуль для N=8 и ε=4.

В нашем случае i=1. Значение i подставим формулу, которая написана выше для N. Решив данное уравнение, получим, t=3.

Подставив в Ft=2b+1, b=2t наше значение t, вычислим модуль М.b=8 F3=28+1=257. N-1=225

3) Построение матрицы прямой и обратной ТЧП

Текст программы для N=7 и ε=2 :

M=127;

N=7;

eps=2;

Q=[1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0] ;

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T

IT=T*Q

Результат:

T =

1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 16 32 64

1 4 16 64 2 8 32

1 8 64 4 32 2 16

1 16 2 32 4 64 8

1 32 8 2 64 16 4

1 64 32 16 8 4 2

IT =

1 1 1 1 1 1 1

1 64 32 16 8 4 2

1 32 8 2 64 16 4

1 16 2 32 4 64 8

1 8 64 4 32 2 16

1 4 16 64 2 8 32

1 2 4 8 16 32 64

Текст программы для N=8 и ε=4:

N=8;

eps=4;

M=257;

for k=0:(N-1)

for n=0:(N-1)

T(n+1,k+1)= mod(eps^(n*k),M);

end

end

T

Q = [1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1 0 0;

0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0];

IT=T*Q

Результат:

T =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 4 16 64 256 253 241 193

1 16 256 241 1 16 256 241

1 64 241 4 256 193 16 253

1 256 1 256 1 256 1 0

1 253 16 193 256 4 0 0

1 241 256 16 1 0 0 0

1 193 241 253 0 0 0 0

IT =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 193 241 253 256 64 16 4

1 241 256 16 1 241 256 16

1 253 16 193 256 4 241 64

1 0 1 256 1 256 1 256

1 0 0 4 256 193 16 253

1 0 0 0 1 16 256 241

1 0 0 0 0 253 241 193

4). Вычисление автосвёртки для заданной (сформированной случайным образом) последовательности отсчётов сигнала.

Текст программы для N=7 и ε=2:

M=127;

N=7;

eps=2;

Q=[1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0] ;

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

IT=T*Q ;

s= floor(rand(N,1)*10)

S= mod(T*s,M);

A= mod(S.*S,M);

y= mod(109*IT*A,M)

Результат программы:

s =

8

9

1

9

6

0

2

y =

81

57

6

59

5

3

125

Текст программы для N=8 и ε=4:

M=257;

N=8;

eps=4;

Q=[1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0]

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

IT=T*Q ;

s= floor(rand(N,1)*10)

S= mod(T*s,M);

A= mod(S.*S,M);

y= mod(225*IT*A,M)

Результат:

s =

5

9

9

1

9

9

4

8

y =

210

253

105

122

15

249

160

199

5.) Проверка свойств базисных функций и ТЧП 1-5 из п.1.3.

5.1. Ортогональность

7

Текст программы:

для N=7 и ε=2:

M=127;

N=7;

eps=2;

Q=[1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0] ;

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

IT=T*Q ;

n1 = 2;

n2 = 3;

s1 = T(n1,:);

s2 = IT(n1,:);

s3 = IT(n2,:);

sp1 = mod(sum(s1.*s2),M)

sp2 = mod(sum(s1.*s3),M)

Текст программы:

для N=8 и ε=4:

M=257;

N=8;

eps=4;

Q=[1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0];

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

IT=T*Q ;

n1 = 2;

n2 = 3;

s1 = T(n1,:);

s2 = IT(n1,:);

s3 = IT(n2,:);

sp1 = mod(sum(s1.*s2),M)

sp2 = mod(sum(s1.*s3),M)

Результат программы:

sp1 =

7

sp2 =

0

Результат программы:

sp1 =

8

sp2 =

0

Вывод: ТЧП обладает свойством ортогональности,т.к.. при k1<>k2, значение равное 0, а при k1=k2 получается результат, равным N.

5.2. Периодичность

Текст программы:

для N=7 и ε=2:

M=127;

N=7;

Q=[1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0] ;

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

s= floor(rand(N,1)*10)

S= mod(T*s,M)

mod(s(5),M)

s(mod((5+N),N))

mod(S(6),M)

S(mod((6+N),N))

Текст программы:

для N=8 и ε=4:

M=257;

N=8;

Q=[1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0];

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

s= floor(rand(N,1)*10)

S= mod(T*s,M)

mod(s(5),M)

s(mod((5+N),N))

mod(S(6),M)

S(mod((6+N),N))

Результат программы:

s =

3

9

0

4

3

7

7

S =

33

11

73

59

29

123

74

ans =

3

ans =

3

ans =

123

ans =

123

Результат программы:

s =

1

4

4

6

7

7

2

6

S =

37

14

243

27

254

200

36

171

ans =

7

ans =

7

ans =

200

ans =

200

Вывод: Из полученных результатов видно, что повторение значений наблюдается согласно периоду повторения, значит, ТЧП обладает свойством периодичности.

5.3. Симметрия

Текст программы:

для N=7 и ε=2:

M=127;

N=7;

eps=2;

Q=[1 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0] ;

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

s=[0 1 2 3 3 2 1]

S=mod(T*s',M)

Текст программы:

для N=8 и ε=4:

M=257;

N=8;

eps=4;

Q=[1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 0;

0 0 1 0 0 0 0 0;

0 1 0 0 0 0 0 0];

for i=1:N;

for j=1:N;

T(i,j)=mod(eps^((i-1)*(j-1)),M);

end

end

T;

IT=T*Q ;

s=[ 0 1 2 3 4 3 2 1 ]

S=mod(T*s',M)

Результат программы:

s =

0 1 2 3 3 2 1

S =

12

83

28

10

10

28

83

Результат программы:

s =

0 1 2 3 4 3 2 1

S =

16

8

0

1

0

1

0

8

Вывод: замечаем, что спектр сиимметричной последовательности также является симметричным, следовательно ТЧП обладает свойство симметрии

Соседние файлы в папке 5