МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра РТУ

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Методические указания

к лабораторной работе по курсам

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ,

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ,

ЗАЩИТА ИНФОРМАЦИИ

для студентов

радиотехнических специальностей

МИНСК 1997

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра радиотехнических систем

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Методические указания к лабораторной работе по курсам

"Прикладная теория кодирования",

"Цифровая обработка сигналов",

"Защита информации"

для студентов радиотехнических специальностей

Минск 1997

УД К 629.051

Теоретико-числовые преобразования : Метод . указания к лабораторной работе по курсам " Прикладная теория кодирования " , " Цифровая обработка сигналов " , " Защита информации " для студентов радиотехнических специальностей / Сост. А.И.Митюхин .— Мн. : БГУИР , 1997.— 20 с.

В лабораторной работе с использованием ПЭВМ исследуются методы цифровой обработки сигналов в теоретико-числовом дискретном ортогональном базисе. Изуча­ются эффективные алгоритмы расчета сверток , лежащие в основе построения процес­соров цифровой фильтрации сигналов и изображений радиотехнических и связных систем.

© Составление. А.И. Митюхин , 1997

1. ЦЕЛЬ РА БОТЫ

Изучение алгоритмов цифровой обработки сигналов на основе теоретико-числовых преобразований в конечном поле или кольце целых чисел но модулю чисел Ферма и но методу чисел Мерсенна .

2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2. 1.Введение

При решении многих практических задач цифровой обработки сигналов в радио­локации, радионавигации, связи, современном телевидении, в системах, где использу­ется помехоустойчивое кодирование, требуется вычисление дискретной линейной или циклической свертки двух цифровых последовательностей. Она используется при вы­числении авто- и взаимно корреляционных функций, при расчете и реализация цифро­вых фильтров с заданной импульсной характеристикой, при вычислении энергетиче­ского спектра.

Пусть даны две последовательности {S(n)} = {S(0), S(1), ... , S(N – 1)} и {h(n)} = {h(0), h(1), ..., h(N – 1)}, определенные на конечных интервалах, т.е. {S(n)} имеет длину N1, {h(n)} — N2. Линейная (апериодическая) свертка этих последовательностей опреде­ляется как:

, (1)

и имеет длину N1+N2 – 1.

Циклическая (периодическая) свертка последовательностей {S(n)} и {S(n)} длинны N имеют вид:

, (2)

где ((m – n)) = (m – n)mod N.

Для эффективного вычисления циклических и линейных сверток применяют быстрые спектральные преобразования цифровых сигналов в базисах дискретных функ­ций, заданных на конечных интервалах. Наиболее известными дискретными ортогональными преобразованиями в числовых и полиноминальных полях являются быстрые преобразования Фурье ( БНФ ), Уолша, Хаара, Виленкина-Крестенсона. Другой известной операцией с сигналами, широко применяемой в системах, является корреляция. Циклическая (периодическая) корреляция двух последовательностей равна:

,

Корреляционная последовательность {R(m)} может быть выражена через опера­тор свертки, если перед вычислением {R(m)} одна из последовательностей будет про­читана в обратном порядке, за исключением нулевого отсчета.

Таким образом, эффективные алгоритмы вычисления свертки распространяются и на эффективные алгоритмы вычисления корреляции. Отсюда следует, что структур­ные схемы процессоров, вычисляющих свертку или корреляцию, не должны иметь принципиальных различий.

Теоретико-числовые преобразования (ТЧП) также позволяют существенно со­кратить число необходимых вычислительных операций при цифровой обработке сигна­лов (ЦОС). В этом случае преобразование заданного массива L чисел (заданной циф­ровой последовательности) сводится к выполнению ТЧП для отдельных частей этого массива. При соответствующем построении алгоритма преобразования это позволяет увеличить скорость выполнения операций. В данном случае можно говорить о выпол­нении быстрого преобразования ТЧП и о выполнении быстрых сверток.

ТЧП определяются только для последовательностей целых чисел {S(n)}, n = 0, 1, ..., N – 1 и {а(k)}, k=0, 1, …, N – 1; здесь N — количество временных (частотных) отче­тов соответственно временной {S(n)} и спектральной {а(k)} последовательностей. Па­ра теоретико-числовых преобразований определяется в экспоненциальной форме сле­дующими выражениями [1]:

M, (3)

M, (4)

где М – модуль преобразования (целое положительное число) ; N — целое положительное число, взаимнопростое с М. N должно делить число (р – 1), где р – любой из простых сомножителей М; L — целое положительное число, такое, что N является порядком элемента L. Напомним, что наименьшее положительное число N, удовлет­воряющее равенству , в кольце целых чисел, называется порядком элемен­та L, N­­ ^-1 число обратное N . N­­ ^-1 определяется из решения сравнения .

Пример 1. Пусть задан модуль М=9 я элемент кольца L=2 . Найти порядок элемента L. Составляется степенной ряд:

,,,,,;

число 6 есть порядок числа 2 для модуля кольца 9.

Используя матрицу ТЧП порядка N, можно записать преобразование в матрич­ной форме:

где,— векторы-столбцы отсчетов сигнала и спектральных коэффициентов, а есть матрицы прямого и обратного преобразования соответственно.

0 1 …n … N-1

T = k

0 1 …n … N-1

T^-1 = k

Сравнивая приведенные выше формулы с соответствующими формулами для дискретного преобразования Фурье (ДПФ), легко заметить аналоги, в записи этих двух преобразований. Из (3) и (4) ясно , что L — аналог в кольце целых чисел по моду­лю М примитивного корня из единицы , определенного в поле комплекс­ных чисел. А вместо N * N­­ ^-1=1 следует находить . При применении теоретико-числовых преобразований числа представляются в так называемой модульной системе. Арифметические операции производятся без переносов от цифры к цифре, что обеспечивает увеличение скорости выполнения преобразований. Основами для рассматриваемых преобразований являются понятия делимости целых чисел, сравнений, вычетов, алгебраические операции в кольце или в поле целых чисел. Действия, как правило, производятся с числами особого вида ( чис­ла Мерсенна, числа Ферма), применение которых упрощает выполнение арифметиче­ских операций.

ТЧП обладают следующими преимуществами перед обычными БПФ:

1) отсутствуют ошибки округления результатов выполнения арифметических операций;

2) используется арифметика целых чисел;

3) базисные функции вида L­­^km являются более предпочтительными по сравнению с базисными функциями ДПФ W^kn, поскольку позволяют избавиться от комплексных умножений на числа ;

4) для выполнения некоторых ТЧП не требуется операция умножения;

5) повышенное быстродействие и точность процедур цифровой фильтрации.

Проблемы ТЧП являются следующие;

1) противоречие между длиной N преобразуемых цифровых последовательностей я величиной динамического диапазона при приемлемых размерах кодового слова мо­жет привести к большой длине кодового слова, а, следовательно, сравнительно слож­ной технической реализации процессора ТЧП;

2) арифметика преобразования требует выполнения операций над классами выче­тов по модулю некоторого простого числа, что может усложнить операцию деления в модульной арифметике.

В этой связи применение ТЧП для вычисления цифровой свертке не может соста­вить в полной мере альтернативу использования ДПФ. Рациональным является их со­вместное использование для вычисления свертки посредством так называемых алго­ритмов сплетения ДПФ с ТЧП или гибридных алгоритмов [2].