2.2. Элементы теории тчп

Чтобы вычислить свертку цифровых последовательностей целых чисел, операции, определенные в поле комплексных чисел, непрерывные по своей природе, можно реа­лизовать в конечном поле или в конечном кольце с операциями сложения и умножения по модулю некоторого целого числи М.

В этом кольце при свертке двух последовательностей {S(n)} и {h(n)} выходная последовательность {Y(m)} также сравнима по модулю М. В кольце целых чисел с заданными операциями по модулю М обычные це­лые числа могут быть представлены однозначно, если их абсолютное значение меньше М/2. Поэтому если масштаб входной последовательности {S(n)} и {h(n)} целых чисел выбран таким образом, что {Y(m)} никогда не превысит М/2, то можно получить оди­наковые результаты при вычислении свертки в кольце целых чисел с операциями по мо­дулю М и обычной арифметикой. Важно выбирать М настолько большим, чтобы все элементы исходных последовательностей {S(n)} и {h(n)}, а также элементы сформиро­ванной последовательности {Y(m)} содержались в интервале [-(М – 1)/2 , М –1/2]. В про­тивном случае некоторые решения могут быть неверными, по они будут сравнимы по модулю М с правильными ответами. Такая ситуация называется псевдопереполнением. Это актуально для большинства приложений, связанных с ЦОС, где последователь­ность {h(n)} известна заранее или представляет импульсную характеристику. Обычно известна также максимальная амплитуда входного сигнала .

Теоретико-числовое преобразование возможно только при наличии в кольце эле­мента L порядка N и обратного элемента N­­^-1. Пусть представляет разложение числаМ на простые множители. Так как L имеет порядок N , то в кольце должно выполняться условие . В работе [3] показано, что для составного модуляМ элемент кольца L должен иметь порядок N по модулю каждой степени про­стого числа, делящей М. Таким образом, в кольце с операциями по составному моду­лю имеет место дополнительное условие выполнения ТЧП

(5)

Пример 2.

Пусть М = 14. Представим его в виде М = 2*7. Легко проверить, что элемент 3 кольца с операцией по модулю 14 имеет порядок 6, т.е. справедливо . В со­ответствии с (5) должны выполняться и следующие выражения:и.

В теории чисел доказано, что элемент кольца или поля L имеет обратный ему , если этот элемент взаимно простой с модулем. КогдаL и М взаимно просты, то должна выполняться теорема Эйлера

(6)

где — функция Эйлера определяет количество чисел, включая единицу, меньшихМ и взаимно простых с М, т.е. таких, которые не имеют с ним общих делителей (или, по-другому, — наибольший общий делитель (НОД ) который равен 1).

Пример 3.

Пусть М = 15. Числа, взаимно простые с 15, будут следующие: 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 и . Если М — простое число, взаимно-простых будет (М – 1) чисел. Для М=31

Из выражений (5) и (6) следует, что для существования обратного элемента Р_е не должен делить N. Таким образом, можно сформулировать основные общие требования к выбору параметров ТЧП.

Теоретико-числовое преобразование размером NхN в кольце целых чисел с операциями сравнения по модулю целого числа М существует тогда и только тогда, когда N делит НОД чисел , т.е. в соответствии с теоремой Эйлера, N — порядок L должен делить , где — функция Эйлера каждого простого сомножителя М. Заметим также, что поскольку в поле целых чисел наличие обратных элементов гарантируется простотой модуля, то в ноле ТЧП существует всегда.

Так как ТЧП по своей структуре подобны ДПФ, то для него справедливы все свойства ДПФ с заменой W на L и выполнением арифметических операций по модулю М. В частности, строки матриц Т и ортогональны по модулюМ. Построение обратной матрицы также основывается на свойстве периодичности элементов строки матриц преобразования .Строки матрицы совпадают с матрицей Т, но записаны в обратном порядке. Поэтому для вычисления обратного ТЧП вместо можно использовать матрицу прямого преобразования, но результат преобразования следует прочесть в обратном порядке (кроме первой строки).

Основными свойствами базисных функций и теоретико-числового преобразо­вания являются:

1. Ортогональность. Скалярное произведение двух базисных функций опреде­ляется в виде

2. Периодичность. В силу периодичности быстрых функций также периодичны спектральные функции ТЧП:

3. Симметрия. Если последовательность является симметричной, т.е. , то соответствующая спектральная последовательность также симметрична:

.

4. Симметрия двойного преобразования

где Т — матрица преобразования.

5. Свойство сдвига

6 . Быстрое преобразование ТЧП. Если N — составное число, то для вычисления преобразования может быть использован алгоритм, аналогичный БПФ и требующий выполнения порядка арифметических операций.

7. Свойство свертки. Спектр свертки равен произведению спектров сворачи­ваемых последовательностей:

Заметим далее, что равенство Парсеваля в обычном виде

не выполняется, поскольку в кольце или поле абсолютное число не определено. В силу модульной арифметики коэффициенты ТЧП не имеют определенного физического смысла.