Добавил:

Kaz Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Предмет:

Цифровая обработка сигналов и изображений

Файл:

ТЧП1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.06.2014

Размер:

230.59 Кб

Скачать

☆

Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники

Кафедра РТС

Отчет по лабораторной работе №1:”Теоретико-числовые преобразования”.

Выполнил:	Проверил:
студент группы 442802	Митюхин А.И.

Минск 2007

Цель работы:

изучение алгоритмов цифровой обработки сигналов на основе теоретикочисловых преобразований в конечном поле или кольце целых чисел по модулю чисел Ферма и по методу чисел Мерсенна.

Исходные данные:

1)Модуль преобразования - M 7 ;

2)Элемент преобразования - 7 ;

3)Порядок элемента , N (длина кодового слова) - N 6 ;

4)Входная последовательность – (-1,-1,-1,1,1,100).

1)Определить модуль, с которым будет выполняться прямое и обратное теоретико-числовые преобразования.

а) N 5 ; a 2 ;

a N	1 mod	M ;
2 5	1 mod	M ;
M	31 ;

Для выполнения обратного теоретико-числового преобразования необходимо

существование элементов а

1 и N

1 в кольце целых чисел по модулю М.

Проверим, выполняется ли данное условие для нашего случая.

Для операции сложения:

0 mod 31 ;

а 1

(31

2 ) mod

29 mod 31 ;

0 mod 31 ; N

(31

5 ) mod 31

26 mod 31 ;

Для операции умножения:

1 mod

31 ;

a 1

16 mod

31 ;

1 mod 31 ;

25 mod 31 ;

Ответ: M=31.

б)

7 ;

2 ;

a N

1 mod

M ;

2 7

1 mod

M ;

127

;

Операция сложения:

a	0 mod	127 ;	а
N	0 mod	127 ;	N

1		(127	2 ) mod 127	125	mod 127 ;

	1	(127	7 ) mod 127	120	mod 127 ;

Операция умножения:

a 1		a	1 mod 127 ;	a
N	1	N	1 mod 127 ;	N

64 mod 127 ; 18 mod 127 ;

Ответ:M=127.

2) Выясним, существует ли теоретико-числовое преобразование для заданных

параметров.
а) N и M взаимно простые (6 и 7);
б) N является делителем						( M );
в) и N взаимно простые,							N	1 mod	M ; 5 6	1 mod		7 ;
Все требуемые условия выполняются, поэтому перейдем к вычислению
коэффициентов прямого теоретико-числового преобразования.
	5
a ( 0 )	x ( n )	0	n	(	1	(1)	1(1)	1(1)	1(1)	1(1)	100		(1)) mod 7		1 mod		7 ;
a ( 0 )	x ( n )			(	1	(1)	1(1)	1(1)	1(1)	1(1)	100		(1)) mod 7		1 mod		7 ;
N	0
5
a (1)	x ( n )	1 n	(	1	( 5 0 )		1( 5 1 )	1( 5 2 )	1( 5 3 )	1( 5 4 )		100	( 5 5 )) mod 7			4 mod	7 ;
N	0
5
a ( 2 )	x ( n )	2 n	(	1	( 5 0 )		1( 5 2 )	1( 5 4 )	1( 5 6 )	1( 5 8 )		100		( 5 10 )) mod	7	2 mod		7 ;
N	0
5
a ( 3 )	x ( n )	3 n	(	1	( 5 0 )		1( 5 3 )	1( 5 6 )	1( 5 9 )	1( 5 12	)	100		( 5 15 )) mod	7	4 mod		7 ;
N	0

	5
a ( 4 )	x ( n )
N	0
	5
a ( 5 )	x ( n )
N	0

( 1 ( 5

)	1( 5 4 )	1( 5 8 )	1( 5 12 )	1( 5 16 )	100 ( 5 20 )) mod	7	4 mod 7 ;
)	1( 5 5 )	1( 5 10 )	1( 5 15 )	1( 5 20 )	100 ( 5 25 )) mod	7	0 ;

Для построения матрицы прямого теоретико-числового преобразования воспользуемся следующими соотношениями:

5 0	1 mod	7 ;
5 1	5 mod	7 ;
5 2	4 mod	7 ;
5 3	6 mod	7 ;
5 4	2 mod	7 ;
5 5	3 mod	7 ;
5 6	1 mod	7 ;

5 0	5 0	5 0	5 0	5 0	5 0	1	1	1	1	1	1
5 0	5 1	5 2	5 3	5 4	5 5	1	5	4	6	2	3
5 0	5 2	5 4	5 6	5 8	5 10	1	4	2	1	4	2
T= 5 0	5 3	5 6	5 9	5 12	5 15						;
T= 5 0	5 3	5 6	5 9	5 12	5 15	1	6	1	6	1	6
5 0	5 4	5 8	5 12	5 16	5 20	1	2	4	1	2	4
5 0	5 5	5 10	5 15	5 20	5 25	1	3	2	6	4	5

1	1	1	1	1	1	1	99		1
1	5	4	6	2	3	1	298		4
1	4	2	1	4	2	1	198		2
A T S							mod 7	mod 7	mod 7 ;
1	6	1	6	1	6	1	599		4
1	2	4	1	2	4	1	396		4
1	3	2	6	4	5	100	504		0

Рассчитаем коэффициенты обратного теоретико-числового преобразования.

		5
s ( 0 )	6	a ( k )		k	0	(1 (1)		4 (1)		2 (1)	4 (1) 4 (1)				0 (1)) mod				7		6 mod		7 ;
s ( 0 )	6	a ( k )				(1 (1)		4 (1)		2 (1)	4 (1) 4 (1)				0 (1)) mod				7		6 mod		7 ;
	k	0
	5
s (1)	6	a ( k )	k 1			(1	( 5 0 )	4 ( 5	1 )	2 ( 5	2 )	4 ( 5	3 )		4 ( 5	4 )		0 ( 5		5 )) mod 7				6 mod 7 ;
	k	0
	5
s ( 2 )	6	a ( k )	k	2		(1	( 5 0 )	4 ( 5	2 )	2 ( 5	4 )	4 ( 5	6 )		4 ( 5		8 )	0 ( 5		10	)) mod		7		6 mod	7 ;
	k	0
	5
s ( 3 )	6	a ( k )	k 3			(1	( 5 0 )	4 ( 5	3 )	2 ( 5	6 )	4 ( 5	9 )		4 ( 5	12 )		0 ( 5		15 )) mod			7		1 mod	7 ;
	k	0
	5
s ( 4 )	6	a ( k )	k	4		(1	( 5 0 )	4 ( 5	4 )	2 ( 5	8 )	4 ( 5	12	)	4 ( 5		16	)	0 ( 5		20	)) mod		7	1 mod	7 ;
	k	0
	5
s ( 5 )	6	a ( k )	k 5			(1	( 5 0 )	4 ( 5	5 )	2 ( 5	10 )	4 ( 5 15		)	4 ( 5		20	)	0 ( 5		25	)) mod		7	2 mod 7 ;
	k	0

Матрица обратного теоретико-числового преобразования имеет вид:

	5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		1	1	1	1	1	1
	5 0		5	1	5	2	5	3	5	4	5	5	1	3	2	6	4	5
	5 0		5	2	5	4	5	6	5	8	5	10	1	2	4	1	2	4
T	1	0		3		6		9		12		15						;
T	5	0	5	3	5	6	5	9	5	12	5	15	1	6	1	6	1	6
	5 0		5	4	5	8	5	12	5	16	5	20	1	4	2	1	4	2
	5 0		5	5	5	10	5	15	5	20	5	25	1	5	4	6	2	3
						1	1		1	1	1	1	1			6
						1	3		2	6	4	5	4			6
	N 1		1			1	2		4	1	2	4	2			6
S	N 1	T	1	A	6									mod	7		mod	7 ;
						1	6		1	6	1	6	4			1
						1	4		2	1	4	2	4			1
						1	5		4	6	2	3	0			2

Учитывая, что 6mod7=-1mod7 и 100mod7=2mod7, получаем:

S Т

1 1 1 2 ;

3) а) N 5 ; S Т					1 1			1	1 1	;
M		2 N	1	2 5	1	31 ;
	1		1 mod 31 ;
			1 mod 31 ;
		2 ;
	1	16 mod		31 ;
		16 mod		31 ;
N	1	25 mod		31 ;
N		25 mod		31 ;
Перейдем к вычислению коэффициентов прямого теоретико-числового
преобразования.
		4
a ( 0 )			s ( n )	2 0 n	mod	31	(	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )) mod	31	1 mod	31 ;
		N	0
		4
a (1)			s ( n )	2 1 n	mod	31	(	1( 2 0 )	1( 2 1 )	1( 2 2 )	1( 2 3 )	1( 2 4 )) mod	31	5 mod 31 ;
		N	0
		4
a ( 2 )			s ( n )	2 2 n	mod	31	(	1( 2 0 )	1( 2 2 )	1( 2 4 )	1( 2 6 )	1( 2 8 )) mod	31	7 mod	31 ;
		N	0
		4
a ( 3 )			s ( n )	2 3 n	mod	31	(	1( 2 0 )	1( 2 3 )	1( 2 6 )	1( 2 9 )	1( 2 12 )) mod	31	7 mod	31 ;
		N	0
		4
a ( 4 )			s ( n )	2 4 n	mod	31	(	1( 2 0 )	1( 2 4 )	1( 2 8 )	1( 2 12 )	1( 2 16 )) mod 31		5 mod	31 .
		N	0

Для построения матрицы прямого теоретико-числового преобразования воспользуемся следующими соотношениями:

2 0	1 mod	31 ;
2 1	2 mod	31 ;
2 2	4 mod	31 ;
2 3	6 mod	31 ;
2 4	16 mod 31 ;
2 5	1 mod	31 .

2 0	2 0	2 0	2 0	2 0	1	1	1	1	1
2 0	2 1	2 2	2 3	2 4	1	2	4	8	16
T= 2 0	2 2	2 4	2 6	2 8	1	4	16	2	8	;
2 0	2 3	2 6	2 9	2 12	1	8	2	16	4
2 0	2 4	2 8	2 12	2 16	1	16	8	4	2

	1	1	1	1	1	1		1
	1	2	4	8	16	1		5
A T S	1	4	16	2	8	1	mod 31	7	mod 31 ;
	1	8	2	16	4	1		7
	1	16	8	4	2	1		5

Матрица обратного теоретико-числового преобразования имеет вид:

		1	1	1	1	1
		1	16	8	4	2
T	1	1	8	2	16	4	;
T		1	8	2	16	4	;
		1	4	16	2	8
		1	2	4	8	16

					1		1	1	1	1	1		1
					1		16	8	4	2	5		1
S	1	T	1	A	1	1	8	2	16	4	7	mod 31	1	mod 31 ;
			1


	N				5
					1		4	16	2	8	7		1
					1		2	4	8	16	5		1

б) N 7 ; S T			1 1	1	1 1 1 1 ;
M		2 N 1	2 7 1 127	;
	1	1 mod	127 ;
		1 mod	127 ;

2 .

Перейдем к вычислению коэффициентов прямого теоретико-числового преобразования.

	6
a ( 0 )		s ( n )	2 0 n mod		127	(	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0 )	1( 2 0		1( 2 0 )))
	N	0
mod	127	1 mod 127 ;
	6
a (1)		s ( n )	2 1 n	mod	127	(	1( 2 0 )	1( 2 1 )	1( 2 2 )	1( 2 3 )	1( 2 4 )	1( 2 5 )		1( 2 6 ))
	N	0
mod	127	101	mod	127 ;
	6
a ( 2 )		s ( n )	2 2 n mod		127	(	1( 2 0 )	1( 2 2 )	1( 2 4 )	1( 2 6 )	1( 2 8 )	1( 2 10	)	1( 2 12	))
	N	0
mod	127	35 mod		127 ;
	6
a ( 3 )		s ( n )	2 3 n	mod	127	(	1( 2 0 )	1( 2 3 )	1( 2 6 )	1( 2 9 )	1( 2 12 )	1( 2 15	)	1( 2 18	))
	N	0

mod 127

11 mod 127 ;

		6
a ( 4 )		s ( n )	2 4 n	mod	127	(	1( 2 0 )	1( 2 4 )	1( 2 8 )		1( 2 12	)	1( 2 16 )		1( 2 20	)	1( 2 24	))
	N	0
mod	127	57 mod 127 ;
		6
a ( 5 )		s ( n )	2 5 n	mod	127	(	1( 2 0 )	1( 2 5 )	1( 2 10	)	1( 2 15	)	1( 2 20	)	1( 2 25	)	1( 2 30	))
	N	0
mod	127	105	mod	127 ;
		6
a ( 6 )		s ( n )	2 6 n	mod	127	(	1( 2 0 )	1( 2 6 )	1( 2 12	)	1( 2 18	)	1( 2 24	)	1( 2 30	)	1( 2 36	))

N 0

mod 127 29 mod 127 ;

Для построения матрицы прямого теоретико-числового преобразования воспользуемся следующими соотношениями:

2 0	1 mod	127 ;
2 1	2 mod	127 ;
2 2	4 mod		127 ;
2 3	6 mod	127 ;
2 4	16 mod		127 ;
2 5	32 mod		127 ;
2 6	64 mod		127 ;
2 7	1 mod	127 .
1	1		1	1	1	1	1
1	2		4	8	16	32	64
1	4		16	64	2	8	32
T= 1	8		64	4	32	2	16	;
1	16		2	32	4	64	8
1	32		8	2	64	16	4
1	64		32	16	8	4	2

	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	1	2	4	8	16	32	64	1	101
	1	4	16	64	2	8	32	1	35
A T S	1	8	64	4	32	2	16	1 mod 127	11 mod 127 ;
	1	16	2	32	4	64	8	1	57
	1	32	8	2	64	16	4	1	105
	1	64	32	16	8	4	2	1	29

Матрица обратного теоретико-числового преобразования имеет вид:

		1	1	1	1	1	1	1
		1	64	32	16	8	4	2
		1	32	8	2	64	16	4
T	1	1	16	2	32	4	64	8	;
T		1	16	2	32	4	64	8	;
		1	8	64	4	32	2	16
		1	4	16	64	2	8	32
		1	2	4	8	16	32	64

				1		1	1	1	1	1	1	1	1
				1		64	32	16	8	4	2	101	1
				1		32	8	2	64	16	4	35	1
S	1	T	1 A	1	1	16	2	32	4	64	8	11 mod 127	1 mod 127 ;


	N			7
				1		8	64	4	32	2	16	57	1
				1		4	16	64	2	8	32	105	1
				1		2	4	8	16	32	64	29	1

4) N 4 ;		S T	(1 2 0 0 ); M 15 ;	2 ;
1	1	1	1
1	2	4	8
T= 1			;
T= 1	4	1	4
1	8	4	2

			1	1	1	1	1	3
			1	2	4	8	2	5
A T S							mod 15	mod 15 ;
			1	4	1	4	0	9
			1	8	4	2	0	2
		1	1	1	1
	1	1	8	4	2
T	1				;
T					;
		1	4	1	4
		1	2	4	8

3	3		9
5	5		10
X		mod 15	mod 15 ;
9	9		6
2	2		4

				1	1	1	1	9		11
	1		1	1	8	4	2	10		4
Y N	1	T	1	X 4					mod 15	mod 15 ;
Y N		T		X 4					mod 15	mod 15 ;
				1	4	1	4	6		14
				1	2	4	8	4		10

Вывод:

полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что для входной последовательности с заданными параметрами прямое и обратное ТЧП существует.

Соседние файлы в папке 5

#
15.06.2014267.07 Кб71отчет_ТЧП.pdf
#
15.06.2014359.67 Кб71Теоретико-числовое преобразование.pdf
#
15.06.201438.54 Кб69ТЧП отчет.docx
#
15.06.2014126.69 Кб68ТЧП отчет.pdf
#
15.06.2014222.72 Кб71ТЧП1.doc
#
15.06.2014230.59 Кб67ТЧП1.pdf
#
15.06.2014124.83 Кб67ЦОС ТЧП.docx
#
15.06.2014306.6 Кб68ЦОС ТЧП.pdf

	5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		1	1	1	1	1	1
	5 0		5	1	5	2	5	3	5	4	5	5	1	3	2	6	4	5
	5 0		5	2	5	4	5	6	5	8	5	10	1	2	4	1	2	4
T	1	0		3		6		9		12		15						;
T	5	0	5	3	5	6	5	9	5	12	5	15	1	6	1	6	1	6
	5 0		5	4	5	8	5	12	5	16	5	20	1	4	2	1	4	2
	5 0		5	5	5	10	5	15	5	20	5	25	1	5	4	6	2	3
						1	1		1	1	1	1	1			6
						1	3		2	6	4	5	4			6
	N 1		1			1	2		4	1	2	4	2			6
S	N 1	T	1	A	6									mod	7		mod	7 ;
						1	6		1	6	1	6	4			1
						1	4		2	1	4	2	4			1
						1	5		4	6	2	3	0			2

		1	1	1	1	1	1	1
		1	64	32	16	8	4	2
		1	32	8	2	64	16	4
T	1	1	16	2	32	4	64	8	;
T		1	16	2	32	4	64	8	;
		1	8	64	4	32	2	16
		1	4	16	64	2	8	32
		1	2	4	8	16	32	64

	5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		1	1	1	1	1	1
	5 0		5	1	5	2	5	3	5	4	5	5	1	3	2	6	4	5
	5 0		5	2	5	4	5	6	5	8	5	10	1	2	4	1	2	4
T	1	0		3		6		9		12		15						;
T	5	0	5	3	5	6	5	9	5	12	5	15	1	6	1	6	1	6
	5 0		5	4	5	8	5	12	5	16	5	20	1	4	2	1	4	2
	5 0		5	5	5	10	5	15	5	20	5	25	1	5	4	6	2	3
						1	1		1	1	1	1	1			6
						1	3		2	6	4	5	4			6
	N 1		1			1	2		4	1	2	4	2			6
S	N 1	T	1	A	6									mod	7		mod	7 ;
						1	6		1	6	1	6	4			1
						1	4		2	1	4	2	4			1
						1	5		4	6	2	3	0			2

		1	1	1	1	1	1	1
		1	64	32	16	8	4	2
		1	32	8	2	64	16	4
T	1	1	16	2	32	4	64	8	;
T		1	16	2	32	4	64	8	;
		1	8	64	4	32	2	16
		1	4	16	64	2	8	32
		1	2	4	8	16	32	64

	5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		5 0		1	1	1	1	1	1
	5 0		5	1	5	2	5	3	5	4	5	5	1	3	2	6	4	5
	5 0		5	2	5	4	5	6	5	8	5	10	1	2	4	1	2	4
T	1	0		3		6		9		12		15						;
T	5	0	5	3	5	6	5	9	5	12	5	15	1	6	1	6	1	6
	5 0		5	4	5	8	5	12	5	16	5	20	1	4	2	1	4	2
	5 0		5	5	5	10	5	15	5	20	5	25	1	5	4	6	2	3
						1	1		1	1	1	1	1			6
						1	3		2	6	4	5	4			6
	N 1		1			1	2		4	1	2	4	2			6
S	N 1	T	1	A	6									mod	7		mod	7 ;
						1	6		1	6	1	6	4			1
						1	4		2	1	4	2	4			1
						1	5		4	6	2	3	0			2

		1	1	1	1	1	1	1
		1	64	32	16	8	4	2
		1	32	8	2	64	16	4
T	1	1	16	2	32	4	64	8	;
T		1	16	2	32	4	64	8	;
		1	8	64	4	32	2	16
		1	4	16	64	2	8	32
		1	2	4	8	16	32	64