38

Министерство образования и науки Украины

Севастопольский национальный технический университет

Кафедра

информационных систем

Курсовой проект по дисциплине

«Численные методы»

Применение численных методов в информатике

Пояснительная записка

UA.02070973.00840-01 81 19

Листов 36

Проверил

Профессор

_______ Е.Л. Первухина

« » _________2013

Разработал

Студент группы И-21д

_______ К.В. Зосименко

« » _________2013

Севастополь

2013

Содержание Введение………………………………………………………………………………….3 1. Постановка задачи…………………………………………………………………….4 2. Численное дифференцирование функций…………………………………………...7 2.1 Общие сведения……………………………………………………………....8 2.2 Решение задачи……………………………………………………………...10 3. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений….................12 3.1 Численное решение дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированным методом, Рунге -Кутты………………………………….12 3.2 Решение заданного дифференциального уравнения методами Эйлера и его модификацией …………………………………………………………………….........13 3.3 2 Решение заданного дифференциального уравнения метод Рунге-Кутты…………………………………………………………………..………………...14 4. Одномерная оптимизация…………………………………………………………...16 4.1 Общие сведения об одномерной оптимизации…………………………………………………………………….............16 4.2 Поиск отрезка , содержащего точку минимума………………………………………………….…………………………….17 4.3 Уточнение экстремума методом Ньютона-Рафсона……………………....17 4.4 Нахождение экстремума методами Свенна и Ньютона-Рафсона………..19 5. Многомерная оптимизация…………………………………………………………20 5.1 Метод Ньютона……………………..……………………………………….20 5.2 Нахождение экстремума для заданной точки……………………………………………………………………………..............21 6. Методы Обработки экспериментальных данных………………………………...22 6.1 Общие сведения……………………………………………………………..22 6.2 Решение задачи методом наименьших квадратов………………………...24 Заключение ……………………………………………………………………..............28 Библиографический список……………………………………………………………29 Приложение А…………………………………………………………………………..30
					КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
Изм.	Лист	N докум.	Подп	Дата
Разраб.		Зосименко К.В.			ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА	Лит.			Лист Лист	Листов
Провер.		Первухина Е.Л.							2	36
Н. Контр						Кафедра ИС группа И-21д

Введение

В вычислительной математике изучаются разнообразные проблемы получения числовых результатов решения математической задачи.

Численные методы - это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведены к арифметическим действиям над числами.

При вычислении на компьютерах значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения оказываются неравноценными с точки зрения приближенных вычислений. Поэтому возникает практически важная задача нахождения для функций наиболее удобных аналитических выражений. Вычисление значений функций обычно сводится к последовательности элементарных арифметических действий. Учитывая ограниченность памяти машины, желательно эти операции разбивать на повторяющиеся циклы.

Целью курсового проектирования является закрепление навыков решения инженерных задач численными методами.

Курсовое проектирование включает следующие этапы:

- изучение численных методов и алгоритмов решения задач;

- решение задач.

Результат выполнения курсовой работы - углубление знаний основных теоретических положений дисциплины «Численные методы в информатике», решая поставленные задачи различными численными методами.

1. Постановка задачи

В данном разделе приведены задания по варианту курсового проектирования.

1.1 Численное дифференцирование функций

1.1.1 Вычислить производную функции в центральном узле при (n=2). Расчеты выполнять с 6-ю знаками после запятой.

1.1.2 Вычислить производную функции в центральном узле при (n=4). Расчеты выполнять с 6-ю знаками после запятой.

1.1.3 Сравнить результаты расчетов по п.п.1 и 2. В качестве точного значения производной функции в центральном узле принять ее значение, вычисленное с десятью знаками после запятой.

Таблица 1.1 - Вариант для задания по численному дифференцированию функций

	Значения ;
	0	0,2	0,4	0,6	0,8
	1	0,9801	0,9211	0,8253	0,6967

1.2 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

1.2.1 Используя метод Эйлера и его модификации решить следующие дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями на отрезке [a,b], при значениях параметров из таблицы 1.2.

Таблица 1.2 - Вариант для задания по численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Эйлера)

1.2.2 Модифицированным методом Эйлера найти на отрезке [a,b] решение следующих дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями

из табл. 1.2

Таблица 1.3 - Вариант для задания по численному решению обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге-Кутты)

1.2.3 Решить уравнение на интервале с начальным условием (табл. 1.3) методом Рунге-Кутты.

1.3 Одномерная оптимизация

Методом Свенна найти отрезок, содержащий точку экстремума унимодальной функции f(x). Вычислить точку экстремума указанным методом.

Таблица 1.5 - Вариант для задания по одномерной оптимизации

1.4 Многомерная оптимизация

Найти точку экстремума функции.

Таблица 1.6 - Вариант для задания по многомерной оптимизации

1.5 Методы обработки экспериментальных данных

По данной таблице значений x и y (табл. 1.7) найти методом наименьших квадратов две различные эмпирические формулы и сравнить качество полученных приближений:

Таблица 1.7 – Вариант для задания по обработке экспериментальных данных