Период колебаний физического маятника

при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ₀ (см. (142.5)) и периодом

=                          (142.7)

где L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.

 

§ 77. Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.

Уравнения в декартовых координатах. Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями (см. § 37):

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т. е. уравнения (9).

Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, z этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил по отношению к инерциальной системе отсчета Охуz. Проектируя обе части равенства (2), т. е. равенства  на оси х, у, z и учитывая, что  и т. д., получим:

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, и от скорости, т. е. от то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е.  одновременно.

Уравнения в проекциях на оси естественного трехгранника. Для получения этих уравнений спроектируем обе части равенства  на оси  т. е. на касательную  к траектории точки, главную нормаль  направленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль  (см. в § 42 рис. 122; на нем  — оси, по отношению к которым движется точка). Тогда, учитывая, что (см. § 43) , получим

Уравнения (11), где  представляют собой дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

Рассмотрим систему, состоящую из  материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой тк. Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через а равнодействующую всех внутренних сил — через  Если точка имеет при этом ускорение  то по основному закону динамики 

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет

Уравнения (13) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме (в них  Входящие в правые части уравнений силы могут в общем случае зависеть от времени, координат точек системы и их скоростей.

Проектируя равенства (13) на какие-нибудь координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения системы в проекциях на эти оси.

Полное решение основной задачи динамики для системы будет состоять в том, чтобы, зная заданные силы и наложенные связи, проинтегрировать соответствующие дифференциальные уравнения и определить в результате закон движения каждой из точек системы и реакции связей. Сделать это аналитически удается лишь в отдельных случаях, когда число точек системы невелико, или же интегрируя уравнения численно с помощьюЭВМ.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти какие-то характеристики, определяющие движение всей системы в целом.

Например, чтобы установить, как движется под действием приложенных сил кривошипно-ползунный механизм (см. рис. 158 в § 57), достаточно определить закон вращения кривошипа, т. е. найти зависимость угла его поворота  от времени t. Обычно для отыскания подобных решений уравнения (13) непосредственно не применяют, а применяют другие, разработанные в динамике методы. К их числу относятся методы, которые дают широко используемые в инженерной практике общие теоремы динамики системы, получаемые как следствия уравнений (13); эти теоремы и будут рассмотрены в данной и в трех последующих главах.

Но предварительно решим одну задачу, показывающую, что искомый результат можно иногда эффективно находить и непосредственно, используя дифференциальные уравнения движения системы.

Задача 122. Динамический гаситель колебаний. Укрепленный на пружине груз 1 совершаетвынужденные колебания под действием возмущающей силы Q, проекция которой   (см. § 96).

Рис. 283

Определить, при каких условиях можно погасить эти колебания, прикрепив к грузу 1 на пружине с коэффициентом жесткости  груз 2 массой  (рис.  Решение. Будем определять положения грузов координатами  отсчитываемыми от положений статического равновесия грузов, направив ось  по вертикали вверх. Тогда силы тяжести уравновесятся силами упругости  и из уравнений движения исключатся (см. в § 94 задачу 112), а учитываемые при движении силы упругости будут пропорциональны удлинениям, которые получают пружины при смещениях грузов от положений статического равновесия. Эти удлинения будут соответственно равны  и на груз 2 будет действовать сила упругости а на груз 1 — силы  и Q. В результате получим следующие дифференциальные уравнения движения грузов:

Чтобы колебания груза 1 гасились, должно быть  Тогда

Из первого уравнения . В результате подстановка во второе уравнение после сокращений дает

Это и будет искомым условием гашения, в котором одной из величин  или  можно задаваться произвольно. Конечно, желательно, чтобы масса  была меньше, но при малой  и заданном  будет мало и  а это приведет к нежелательному увеличению амплитуды  колебаний груза 2.