28. Игры с «природой». Принятие решений в условиях неопределенности.

Неопределенность – это когда противник не имеет противоположных интересов, но выигрыш действующего игрока во многом зависит от неизвестного заранее состояния противника. Неопределенность зависит от недостатка информации о внешних условиях, в которых будет приниматься решение и не зависит от действий игрока

Неопределенность может быть следствием многих причин: колебание спроса; нестабильность экономической ситуации; изменение курса валют; колебание уровня инфляции; неустойчивая биржевая ситуация; погода как природное явление.

В таких задачах выбор решения зависит от состояния объективной действительности, называемой «природой», а математические модели называются «игры с природой»

Игра, в которой осознанно действует только один из игроков, называется игрой с природой. «Природа» – это обобщенное понятие противника, не преследующего собственных целей в данном конфликте, хотя такую ситуацию конфликтом можно назвать лишь условно.

Природа может принимать одно из своих возможных состояний и не имеет целью получение выигрыша

Игра с природой представляется в виде платежной матрицы, элементы которой – выигрыши игрока А, но не являются. Понятие игры с природой задача выбора оптимальной стратегии для игрока А упрощается В «играх с природой» задача выбора оптимальной стратегии для игрока А осложняется из-за дефицита информации о поведении природы

Принятие решений в условиях неопределенности Предположим, что лицо, принимающее решение, может выбрать одну из возможных альтернатив, обозначенных номерами i = 1, 2, …, m Ситуация является полностью неопределенной, т. е. известен лишь набор возможных вариантов состояний внешней (по отношению к лицу, принимающему решение) среды, обозначенных номерами j = 1, 2,.n Принятие решений в условиях неопределенности Если будет принято i-e решение, а состояние внешней среды соответствует j-й ситуации, то лицо, принимающее решение, получит доход. Необходимо провести оценку риска в условиях, когда реальная ситуация неизвестна. Если игрок знает, что осуществляется j-е состояние природы, то выбрал бы наилучшее решение, то есть то, которое принесет наибольший выигрыш bj = max(aij), j = 1, 2, …, n17 Е.В. Яроцкая, к.э.н., доцент кафедры экономики ТПУ 3.2. Принятие решений в условиях неопределенности Принимая i-e решение, игрок А рискует получить не bj , а только aij, то есть, если игрок примет i-е решение, а в природе реализуется j-е состояние, то произойдет недополучение дохода в размере: ij j ij j ij r b a a a max (по сравнению с тем, как если бы игрок знал точно, что реализуется j-е состояние природы, и выбрал бы решение, приносящее наибольший доход bj = max(aij), j = 1, 2, …, n)

29. Принятие решений в условиях риска.

1. Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчетные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х — случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁, x₂, ..., x_n — значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений x^=(x₁+x₂+...+x_n)/n имеет дисперсию DX/n. Таким образом, когда n→∞ DX/n→∞ и X→MX.

Другими словами при достаточно большом объеме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент »риска».

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение m, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчете на один интервал времени.

Пусть р_t — вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t — случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ — затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = (C₁∑M(n_t)+C₁n)/T,

где M(n_t) — математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t . Таким образом

ОЗ = n(C₁∑p_t+C₂)/T.

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ (T^*-1) ≥ ОЗ (T^*),

ОЗ (T^*+1) ≥ ОЗ (T^*).