1.Предмет и задачи теории игр. Задачи теории игр в экономике . Теория игр – это раздел математики, изучающий математические модели принятия решений вконфликтных ситуациях. Теория игр опирается на предположение о том, что независимо от цели игры и ее обстоятельств найдется стратегия, которая позволит добиться успеха. Игровую схему можно придать многим ситуациям в экономике. Здесь выиг­рышем могут быть эффективность использования дефицит­ных ресурсов, производственных фондов, величина прибыли, себестоимость и т. д. На промышленных предприятиях теория игр может исполь­зоваться для выбора оптимальных решений, например, при со­здании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабри­катов, когда противоборствуют две тенденции: увеличения запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, и сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение.

2. Терминология и классификация игр. В зависимости от видов ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Азартные игры состоят только из случайных ходов - ими теория игр не занимается. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называютсястратегическими. В зависимости от числа участников игры подразделяются на парные и множественные. В парной игре число участников равно двум, в множественной - более двух. По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные(множество стратегий каждого игрока бесконечно).  По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме.Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. Если любая возможная партия некоторой игры имеет нулевую сумму выигрышей f_i,   всех N игроков ( ), то говорят об игре с нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой.Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.Конечная парная игра с нулевой суммой называется матричной игрой. Такая игра описывается платежной матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).Конечная парная игра с ненулевой суммой называется биматричной игрой. Такая игра описывается двумя платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

3. Определение игры в нормальной форме: Игроки, стратегии, платежи. Игра в нормальной форме описывается платежной матрицей (в виде таблицы). Каждое измерение матрицы – это игрок. Строки определяют стратегии первого игрока, столбцы – стратегии второго. На пересечении столбца и строки можно увидеть выигрыши, которые получают игроки. В примере на рисунке, если первый игрок выбирает стратегию F, а второй игрок стратегию А, то выигрыш каждого игрока составит 5.

	Игрок 1
Игрок 2		A	R
	F	(5;5)	(0;0)
	U	(8;2)	(0;0)

игра в нормальной форме (или стратегической форме) состоит из трех элементов: множества игроков, множества чистых стратегий каждого игрока, множества платежных функций каждого игрока. 

4. Определение игры в позиционной форме. Позиционные игры — это многоходовые (или динамические) бескоалиционные игры.В позиционной игре ходы делаются в логической последовательности.Каждый ход делается либо одним из игроков (личный ход),либо выбирается случайным образом (случайный ход) в соответствии с заданным распределением вероятностей.В каждой конечной позиции игры задан вектор выигрышей игроков. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Дерево игры — способ описания игры с помощью графа «дерево«, последовательно по ходам фиксирующего, какой информацией располагают игроки перед каждым ходом, какие варианты они могут выбирать и какими могут быть предельные размеры платежей в конце игры.

5. Позиционные игры. Сведение позиционной игры к игре в нормальной форме. Позиционная игра – это бескоалиционная игра, моделирующая процессы последовательного принятия решений игроками в условиях меняющейся во времени и, вообще говоря, неполной информации. Процесс самой игры состоит в последовательном переходе от одного состояния игры к другому состоянию, который осуществляется либо путём выбора игроками одного из возможных действий в соответствии с правилами игры, либо случайным образом (случайный ход).Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. Процесс сведения позиционной игры к ма¬тричной называется нормализацией, а полученная матричная игра — игрой в нормальной форме.

6. Примеры игр: Дилемма заключенного, координация, «семейный спор». Диле́мма заключённого — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок(«заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, не важно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничалиюВ этом и заключается дилемма.

пример игры, которая имеет платёжную матрицу

и которая получила название “семейный спор”. Название возникло из-за следующей её интерпретации. Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут выбирать одно из двух вечерних развлечений - футбол (i=1, j=1) или театр (i=2, j=2). Согласно обычному стандарту, мужчина предпочитает футбол, а женщина - театр. Однако им гораздо важнее идти вместе, чем смотреть своё предпочтительное зрелище. И если они поругаются и пойдут в разные стороны (i=1, j=2 или i=2, j=1), то оба проиграют, получая (-1,-1).Найдём стратегии первого игрока (очевидно, что в силу симметричности платёжной матрицы стратегии второго игрока точно такие же).

Координационнаяигра  Правая1;10;0  Левая0;01;1  Если автомобили движутся по разным сторонам дороги, то для того чтобы разъехаться, водителям нужно останавливаться и вести переговоры, чреватые издержками, поэтому в этом случае  их выигрыши равны нулю. Если оба выбирают правую сторону дороги или оба водителя выбирают левую, то их выигрыши составляют по единице. Интересы водителей в этом игре не противоречат друг другу, они совпадают, поэтому здесь нет необходимости в  принуждении.

7. Решения некооперативных игр: доминирование сильное и слабое.

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.Понятие доминирования используется при решении или упрощении некоторых типов некооперативных игр.При выборе своей стратегии из множества допустимых игрок сравнивает по предпочтительности исходы от их применения. Может возникать три типа результатов:

• Стратегия В доминирует стратегию A, если при любом поведении остальных игроков использование стратегии В приводит к не худшему исходу, нежели использование А. Различают строгое доминирование, когда В дает больший выигрыш, чем А, в любых условиях, и слабое доминирование, если при некоторых действиях других игроков В обеспечивает больший выигрыш, чем А, а при других — одинаковый с ней.

• Стратегия В доминируется стратегией A, если при любом поведении остальных игроков стратегия В приводит к не лучшему исходу, нежели стратегия А. Аналогично предыдущему случаю, стратегия может доминироваться строго и слабо.

• Стратегии А и В называются нетранзитивными, если В не доминирует А и А не доминирует В. Это оначает, что в зависимости от выбора стратегий другими игроками, большие выигрыши игроку может обесппечивать как выбор стратегии А, так и В.

Это понятие обобщается на сравнение более чем двух стратегий:

• Стратегия B называется строго доминирующей, если она строго доминирует любую другую допустимую стратегию игрока.

• Стратегия B называется слабо доминирующей, если она доминирует любую другую допустимую стратегию игрока, при этом некоторые из них доминируются слабо.

• Стратегия B называется строго доминируемой, если существует другая стратегия, которая строго ее доминирует.

• Стратегия B называется слабо доминируемой, если существует другая стратегия, которая слабо ее доминирует.

8. Равновесия в играх. Равновесие Нэша в чистых стратегиях.

В теории игр равновесием Нэша (названным в честь Джона Форбса Нэша, который предложил его)называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличитьвыигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.Такая совокупность стратегий выбранных участниками и их выигрыши называются равновесием Нэша.Пара чистых стратегий i j 0 0 и в биматричной игре игроков Р1 и Р2 называется равновесием по Нэшу в чистых стратегиях,если при выборе игроком Р2 стратегии 0 j для игрока Р1 наиболее выгодной является стратегия 0 i и НАОБОРОТ.Равновесие с доминирующими стратегиями является частным случаем равновесия по Нэшу.Следует иметь в виду, что равновесие по Нэшу не сводится к равновесию в доминирующих стратегиях, хотя если есть доминирующие стратегии, то им соответствует равновесие по Нэшу . Положение равновесия Нэша в платёжной матрице биматричной игры можно определить по одновременному появлению условных знаков и в одной клетке.