1. Вычисление угла между плоскостями.
Пусть плоскости α и β заданы уравнениями α: a1 x + b1 y + с1z + d1 = 0,
β: a2 x + b2 y +с2z + d2 = 0 .
Поскольку угол между плоскостями равен углу между перпендикулярными прямыми, проведенными к этим плоскостям, то косинус угла между плоскостями можно вычислит по формуле
,
где
,
-
нормальные векторы плоскостей
α и β. Или в
координатах
.
2.Вычисление расстояние от точки до плоскости.
Пусть плоскость α задана уравнением a x + b y + сz + d = 0 и задана
точка M(x0; y0; z0). Вычислим расстояние от точки M до плоскости α.
Заметим, что
векторы
и
коллинеарны,
поэтому
=
,
откуда
,
поскольку
a (x0 -
x )+ b (y0
- y ) + с( z0
–z ) = a
x0 + b
y0 + с z0
+ d.
таким образом расстояние от точки M(x0; y0; z0) до плоскости
a x + b y + сz + d = 0 вычисляется по формуле
r
=
.
1. Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9. М., 1997.
2. Атанасян Л.С. Геометрия 10 – 11. М., 1992.
3. Возняк Г.М., Гусев В.А. Прикладные задачи на экстремумы. М., 1985.
4. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических олимпиад М., 1988.
5. Василевский А.Б. Задания для внеклассной работы по геометрии (8 – 11) классы. Пособие для учителя. Мн., 1998.
6. Василевский А.Б. Задачи для внеклассной работы по математике: 9 – 11–е классы. Книга для учителя. Мн., 1988.
7. Василевский А.Б. Задания к практикуму по геометрии: методические разработки. Мн., 1980.
8. Василевский А.Б. Методы решения геометрических задач. Учебное пособие для математических фак – тов. Мн., 1969.
9. Василевский А.Б. Геометрия. Учебное пособие. Мн., 1975.
10. Горштейн П., Поланский В., Якир М. Геометрические решения экстремальных задач. “Квант”, 1992, 9
11. Готман Э.Г. Уравнения Тождества Неравенства при решении геометрических задач. М., 1965.
12. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом. М., 1979.
13. Колмогоров А.М. Алгебра 10 – 11. М., 1998.
14. Нагибин Ф.Ф. Экстремумы М., 1966.
15. Пiрутка В.М. Дынамiчныя практыкаваннi па геаметрыi. “ Народная асвета”, 1998., 3-4.
16. Пирютко О.Н. Динамизация геометрических объектов в школьном курсе математики. Мн., 2001.
17. Погорелов А.В. Геометрия 7 – 11. М., 1990.
18. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Ч. 1,2. М., 1991.
19. Раганоýскi М.М. Геаметрыя 7 – 9. Мн, 1992.
20. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. М., 1986.
21. Теляковский С.А. Алгебра 7. М., 2000.
22. Теляковский С.А. Алгебра 8. М., 2000.
23. Теляковский С.А. Алгебра 9. М., 1998.
24. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М., 1986.
25. Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии. Стереометрия. М., 1984.
26. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. М., 1970.
27. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. М., 1974.