2.Вычисление угла между векторами

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M - средина ребра DD₁, точка N - делит ребро AB в отношении 2: 1, считая от вершины A. Найдите угол между векторами MB₁ и NC₁

Решение

1.Выберем базис – три некомпланарных вектора, длины и углы между которыми известны. Пусть это будут вектора DD₁ =a, DC = b, DA = c.

2. Разложим вектора M B₁ и NС₁ в этом базисе : MB₁ = 0,5а + с + b,

NС₁ = - а + с + 1/3b.

3. Найдем длины этих векторов:

M B₁² = (0,5а + с +b)² =0,25a² + c² + b² = 0,25 а² + а² + а ²= 2,25. | M B₁| = 1,5а

N C₁² = (-а + с + 1/3b)² =a² + c² + 1/9b² = 2а² + 1/9а² = 19/9a². | N C₁| = а

4.Найдем скалярное произведение векторов, используя свойства скалярного произведения:

N C₁ ∙ MB₁ =(0,5а + с +b)( -а + с + 1/3b)= - 0,5а² + с² + 1/3b²= 5/6a².

5.Найти косинус угла между векторами по формуле

.

cos(N C₁ MB₁ ) =

6. Записать ответ .

Алгоритм вычисления угла между векторами:

1.Разложить данные вектора по трем базисным векторам, т.е.таким некомпланарным векторам, угол между которыми и длины которых известны.

2.Вычислить скалярное произведение данных векторов, используя свойства скалярного произведения.

3. Вычислить длины этих векторов, используя свойство скалярного квадрата вектора.

4.Вычислить косинус угла между векторами по формуле

.

5.Записать ответ .

Условие принадлежности четырех точек одной плоскости

Для того, чтобы четыре точки A, B, C, D принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки пространства

выполнялось равенство:

, где x и y некоторые числа.

Задача

Определить в каком отношении в кубе ABCDA₁B₁C₁D плоскость AD₁C делит отрезок DB₁.

Решение

1.Обозначим точку пересечения плоскости AD₁C с отрезком DB₁ через M (рис. 117) и запишем условие принадлежности четырех точек M, A, C, D₁ одной плоскости:

DM = xDA + yDD₁ +( 1- x –y) DC (1)

2.Запишем условие принадлежности точки M прямой BD₁:

DM = kDB₁ или DM = k ( DA + DD₁ +DC )( 2)

3. Приравняем правые части равенств (1) и( 2):

xDA + yDD₁ +( 1- x –y) DC = k ( DA + DD₁ +DC ),

по теореме о единственности разложения вектора по трем некомпланарным векторам приравняем коэффициенты в разложении вектора DM в базисе (DA ; DD₁ ;DC).

x = k,

y = k,

1- x –y =k.

Решая полученную систему, находим k = 1/3.

Таким образом, плоскость AD₁C делит отрезок DB₁ в отношении 1:2,считая от вершины D.

Декартовы координаты точки в пространстве=9

Определения

1.Если задан прямоугольный базис и точка O, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве

2. Координатами точки M в прямоугольной системе координат называют координаты вектора OM в базисе .

Если , то координаты точки M записывают M(x;y;z). Число x называют абсциссой, y –ординатой, z- абсциссой, z- аппликатой точки M.

3.Оси, определяемые векторами называют координатными осями; плоскости, проходящие через каждые две координатные оси, называют координатными плоскостями. Пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством.

Задача1

Дана прямоугольна система координат. Построить точку M по ее координатам

(x;y;z).

Решение

По определению координат точки задача сводится к построению вектора , поэтому отложим последовательно векторы

получим искомую точку M

Задача 2

По координатам точек A(x ₁;y ₁;z ₁), B(x ₂;y₂;z₂) найдите координаты вектора

AB.

Решение.

По определению координат точки , .

По правилу вычитания векторов: .

По правилу действия с векторами в координатах .

Таким образом, чтобы найти координаты вектора, заданного координатами его начала и конца, надо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала.

в)

Расстояние между точками. Длина отрезка = 10

Задача1

Найти расстояние между точками A(x ₁;y ₁;z ₁), B(x ₂;y₂;z₂).

Для вычисления расстояния между двумя точками A и B достаточно найти длину вектора AB. Вектор AB имеет координаты .

Применяя формулу для вычисления длины вектора, получим

AB = ,т.е.

расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы

квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Длина отрезка AB, где A(x ₁;y ₁;z ₁), B(x ₂;y₂;z₂), вычисляется по формуле

расстояния между двумя точками A и B .

Координаты точки, делящей данный отрезок в данном отношении = 11

Деление отрезка в данном отношении

Если точка A имеет координаты (x₁;y₁;z₁ ), а точка В имеет координаты

(x₂ ;y₂;z₂), а точка M делит отрезок AB в отношении AM:MB =m:n, то координаты точки M (n/(m+n)x₁+m/(m+n)x₂; n/(m+n)y₁+m/(m+n)y₂; n/(m+n)z₁+m/(m+n)z ₂)

Доказательство

Пусть точка M делит отрезок AB в отношении AM:MB =m:n, тогда вектор

, или , откуда .

По определению координат точки вектор OB имеет координаты точки B,

вектор OA имеет координаты точкиA.

По теореме о координатах произведения вектора на число и координатах суммы

векторов вектор OM будет иметь координаты

((n/(man)x₁+m/(man)x₂; n/(man)y₁+m/(man)y₂; n/(man)z₁+m/(man)z ₂)

По определению координат точки точка M имеет координаты вектора OM.

Таким образом, а точка M, которая делит отрезок AB в отношении

AM:MB =m:n, имеет координаты

M (n/(man)x₁+m/(man)x₂; n/(man)y₁+m/(man)y₂; n/(man)z₁+m/(man)z₂).

Координаты середины отрезка

Если точка A имеет координаты (x₁;y₁;z₁ ), а точка В имеет координаты

(x₂ ;y₂;z₂), а точка M середина отрезка AB то координаты точки

.

Уравнение плоскости =11

Теорема

Всякое уравнение первой степени a x + b y + сz + d = 0 задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна ненулевому вектору( а;b;c).

Доказательство

1.Пусть задана точка M₀(x₀ ; y₀ ; z₀ ) и ненулевой вектор .

Составим уравнение плоскости α, которая проходит через точку M₀(x₀ ; y₀ ; z₀ ),

перпендикулярно ненулевому вектору .

Для любой точки M(x;y;z) плоскости α вектор перпендикулярен вектору

( рис.120), поэтому их скалярное произведение равно нулю.

Координаты вектора M₀M = (x - x₀ ; y - y₀;z - z₀ )

Запишем необходимое условие перпендикулярности векторов:

a (x - x₀ )+ b (y - y₀ ) + с(z - z₀ ) = 0, раскроем скобки,

получим a x + b y + сz + d = 0 (1), где d = - (a x₀ + by₀ + сz₀ ).

2. Покажем, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными

a x + b y + сz + d = 0 задает в координатном пространстве некоторую плоскость, если a ² + b² + с ² ≠ 0.

Пусть a ≠ 0. Возьмем ненулевой вектор и точку M₀ (– d/a ;0;0). В пространстве существует единственная плоскость, проходящая через точку и перпендикулярно данной прямой. Как было доказано, эта плоскость имеет вид

a (x + d/a)+ b (y - 0) + с(z - 0) = 0 или a x + b y + сz + d = 0.

Замечание. Вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

Координатный метод решения задач по стереометрии =13