4.Скалярное произведение векторов в координатах.
Скалярное произведение векторов ( a(x1;y1 ;z1 ),b(x2;y2 ; z 2)) равно сумме произведений одноименных координат, т.е. a b = x1 x2 + y1y2 + z1 z2
Доказательство
Применяя законы сложения векторов, законы умножения вектора на число, свойство скалярного произведения векторов, получим
ab = (x1 i + y1j + z 1 k ) ( x2 i + y2j + z2 k ) = (x1 x2 ) i2 + ( y1 y2 ) j2+ (z 1 z 2 )k2
= x1x2 + y1y2 + z1z 2 , заметим, что слагаемые, содержащие произведение разноименных векторов, равны нулю, поскольку содержат скалярное произведение перпендикулярных векторов, равное нулю.
Таким образом, a b = x1 x2 + y1y2 + z1 z2 . Доказательство закончено.
5.Длина вектора а в координатах
Длина вектора, заданного своими координатами, a(x1;y1 ; z1 ), равна корню квадратному из суммы квадратов его координат,т.е.
|а |=
.
Доказательство
Рассмотрим скалярный квадрат вектора
aа
= x1
x1 +
y1y1
+ z1
z1,
,
откуда |а
|=
.
Доказательство закончено.
6.Условие коллинеарности векторов в координатах
Если векторы a(x1;y1 ;z1 ), b(x2;y2 ; z 2 ) коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Справедливо обратное:
если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны.
Доказательство
Необходимость
Если векторы a(x1;y1 ;z1 ), b(x2; y2 ; z 2 ) коллинеарны, то по необходимому
условию коллинеарности векторов a = kb, где к – некоторое неравное нулю число.
По правилу умножения векторов в координатах, получим b = ka = (kx1;ky1 ;kz1).
Из условия равенства векторов следует: x2 = kx1; y2 =ky1; z 2= kz1, т.е. координаты векторов пропорциональны.
Достаточность
Если координаты векторов a(x1;y1 ;z1 ), b(kx1;ky1 ;kz1) пропорциональны, то по правилу умножения векторов в координатах a = kb, что по достаточному условию кллинеарности векторов означает, что векторы a и b коллинеарны.
Применение векторов к решению задач по стереометрии = 8
1Вычисление длины вектора
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка M - средина ребра DD1, точка N - делит ребро AB в отношении 2: 1, считая от вершины A. Найдите длину вектора MN, если длина ребра куба равна 1.
Решение
1.Выберем базис – три некомпланарных вектора, длины и углы между которыми известны. Пусть это будут вектора DD1 =a, DC = b, DA = c (рис116).
2. Разложим вектор MN в этом базисе : MN = 0,5а + с +2/3b.
3. Найдем скалярный квадрат этого вектора: MN2 = (0,5а + с +2/3b)2 =
0,25a2 + c2 + 4/9b2 = 0,25 +1 + 4/9 = 61/36. Заметим, что удвоенные произведения в сумме оказались равными нулю, поскольку содержали скалярное произведение перпендикулярных векторов.
4. По свойству скалярного произведения векторов MN2 = | MN|2 =61/36,
откуда
.
Алгоритм вычисления длины вектора
1.Разложить данный вектора по трем базисным векторам, т.е.таким некомпланарным векторам, угол между которыми и длины которых известны.
2.Вычислить скалярный квадрат вектора, используя свойство скалярного произведения векторов.
3. Вычислить длину вектора, используя свойство скалярного квадрата вектора.