Свойства скалярного произведения векторов

1.ab = ba (переместительный закон скалярного умножения векторов).

2. (xa)b = x(ab) (cсочетательный закон умножения векторов относительно двух векторов и числа).

3 (a+b)c = aс + bc (распределительный закон скалярного умножения относительно сложения).

4. ab |a||b|(скалярное произведение векторов не превосходит произведения их длин).

Действительно, поскольку -1 ≤ cosα≤ 1, то равенство возможно только в случае, если векторы сонаправлены, т.е.угол между ними равен нулю, а косинус угла равен 1. Для всех других случаев, при умножении произведения длин на число, меньшее 1, произведение уменьшается.

5. a²=|a|² (cкалярный квадрат вектора равен квадрату его длины).

6 .а | b аb=0 (для того, чтобы два ненулевых вектора были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю).

Доказательство

Необходимость

Если векторы a и b перпендикулярны, то угол между ними равен 90°, cos 90°=0, поэтому аb= |a||b|cos 90° = 0.

Достаточность

Если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то в произведении |a||b|cosα равен нулю только множитель cosα, откуда α =90°,

где α – угол между векторами, следовательно, векторы a и b перпендикулярны.

Доказательство закончено.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам = 5

Правило параллелепипеда

Для сложения трех некомпланарных векторов можно использовать правило параллелепипеда.

Пусть надо найти сумму некомпланарных векторов a, b и c. Отложим от произвольной точки O векторы OA = a, ОB = b, ОС = с. Построим параллелепипед так, чтобы отрезки OA, OB, OC были его ребрами, выходящими их одной вершины. Тогда вектор OK , где OK – диагональ параллелепипеда является е суммой векторов a, b и c Действительно, OA+ OB+ OC =

OA+AD+DK= OK.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Теорема

Для каждого вектора пространства существует единственное разложение по трем данным некомпланарным векторам.

Доказательство.

Пусть даны некомпланарные векторы a, b и c. Покажем, что произвольный вектор d можно представить в виде d =xa + yb + zc.

Отложим от произвольной точки O векторы OA = a, ОB = b, ОС = с, OD = d.

Рассмотрим случай, когда точка D не принадлежит ни одной из плоскостей AOB, BOC, COA.

Через точку D поведем плоскости, соответственно параллельные плоскостям AOB, BOC, COA. В полученном параллелепипеде OD – диагональ

( рис. 113)

По правилу параллелепипеда ОD = OM + OK + OL. Поскольку векторы в парах OA и OM, OB и OK, OC и OL коллинеарны, то

ОD = xOA + yOB + zOC или d =xa + yb + zc.

Если точка D принадлежит одной из плоскостей, например, AOB, то векторы a, b, d – компланарны, тогда по теореме о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам d =xa + yb или d =xa + yb + 0c.

Единственность вытекает из условия равенства векторов d =xa + yb + zc и

d =x ₁ a + y ₁b + z ₁c, откуда ( x- x ₁ )a + ( y- y ₁ )b + (z - z ₁ )c = 0, поскольку векторы a, b и c некомпланарны, то равенство нулевому вектору возможно, если

x = x ₁ , y =y ₁ , z = z ₁.

Доказательство закончено.

Координаты вектора = 6

Определение1

Пусть задана тройка (i ;j ;k) попарно перпендикулярных единичных векторов.

( Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице).

Такую тройку векторов называют прямоугольным базисом или координатными векторами

По теореме о разложении вектора по трем некомпланарным векторам любой вектор пространства можно разложить по векторам I ,j ,k. Это означает, что для любого вектора a существует и притом только одна отройка чисел (x;y;z;), такая, что

a = xi + yj + zk.

Справедливо и обратное: каждая тройка чисел определяет единственный вектор

Числа x, y, z называют координатами вектора a в прямоугольном базисе, т.е.

координаты вектора в пространстве – это коэффициенты перед координатными векторами в разложении вектора в прямоугольном базисе.

Определение 2

Прямые, на которых лежат векторы i, j ,k называют осями координат: соответственно ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

Определение 3

Плоскости, которые образованы каждой тройкой векторов называют координатными плоскостями:

XOY, XOZ, ZOY ( рис).

Координаты вектора записываются в виде a= (x;y;z;)

Действия с векторами в координатах = 7

1.Чтобы найти координаты суммы векторов ( a(x₁;y₁ z₁ ),b(x₂;y_2; z ₂)) , надо сложить соответствующие координаты слагаемых:

(a+b)= (x₁+x₂; y₁+y_2; z₁+z ₂).

Доказательство

Применяя законы сложения векторов и распределительный закон умножения вектора на число, получим

a+b = (x₁ i + y₁j + z ₁ k )+( x₂ i + y₂j + z₂ k ) = (x₁ + x₂ ) i + ( y₁ + y₂ ) j + (z ₁ + z ₂ )k ,

откуда (a+b)= (x₁+x₂; y₁+y_2; z₁+z ₂). Доказательство закончено.

Свойства 2 и 3 доказываются аналогично.

2.Чтобы найти координаты разности векторов( a(x₁;y₁ ;z₁ ),b(x₂;y_2; z ₂)) надо из координат первого вектора (a) вычесть соответствующие координаты второго(b): (a-b) = (x₁-x₂; y₁- y₂ ; z₁-z ₂).

3.Чтобы найти координаты произведения вектора a(x₁;y₁ z₁ ), на число(k 0), надо на это число умножить соответствующие координаты вектора: kb(kx₁;ky₁ kz₁).