6.Свойства умножения вектора на число

1. x(ya) =(xy)a, если x 0, y 0;

2. (x+y)a =xa+ya;

3. x(a+b) = xa+xb;

4. 0a = 0;

5. 0a =0.

7.Условие коллинеарности двух ненулевых векторов:

Для того, чтобы два ненулевых вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно существование такого числа k 0,что a=kb.

Необходимость

Пусть векторы a и b коллинеарны. Покажем, что существует число k 0, такое, что a = kb. Обозначим отношение длин векторов |a| : |b| = m, тогда |a| = m |b|.

Поскольку векторы a и b коллинеарны, то они сонаправлены или противонаправлены, поэтому k = m или k = - m .

Достаточность

Пусть a = kb, тогда по определению произведения векторов векторы a и b коллинеарны.

8. Векторные формулы

1.Если точка M – середина отрезка AB, а O – произвольная точка пространства, то OM=1/2(OA+OB)

Выведем эту формулу: по правилу треугольника для сложения векторов имеем: OM = OA+AM, так как AM=1/2AB,а AB по правилу вычитания векторов можно представить в виде AB= OB-OA, то OM=OA+(1/2OB-OA)= 1/2(OA+OB), что и требовалось доказать.

2.Если точка M делит отрезок AB в отношении AM:MB= m:n, то OM=n/(m+n)OA + m/(m+n) OB.

Выведем эту формулу: по правилу треугольника для сложения векторов имеем: OM = OA+AM, так как AM= m/(m+n) AB,а AB по правилу вычитания можно представить в виде AB= OB-OA, то OM=OA+ m/(m+n) (OB-OA).

После раскрытия скобок и применения свойств умножения вектора на число

получим OM=n/(m+n)OA + m/(m+n) OB, что и требовалось доказать.

3.Если M точка пересечения медиан треугольника ABC, а O – произвольная точка пространства, то OM=1/3(OA+OB+OC).

9. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Пусть a, b, c три вектора плоскости, при этом векторы a и b не коллинеарны, тогда существуют такие единственные действительные числа x и y, что c = xa+yb .

Доказательство

Пусть векторы a, b, c компланарны, причем векторы a и b не коллинеарны.

От некоторой точки отложим векторы OA = a, OB = b, OC = c. Из условия теоремы следует, что точки O, A, B,C принадлежат некоторой плоскости.

В этой плоскости через точку C проведем прямые, параллельные прямым OA и OB. Получим параллелограмм MONC. По правилу параллелограмма можно записать ОС = OM + ON. Но ОM = xOA, ON = yOB ( необходимое условие коллинеарности векторов), тогда ОС = xOA +y OB или c = xa + yb

Доказательство закончено.

10. Правило многоугольника

Сумма нескольких векторов, таких, что начало каждого следующего вектора совпадает с концом предыдущего равна вектору, начало которого совпадает с началом первого, а конец – с концом последнего:

AB+BC+CD+DE+…+ YZ=AZ .

11. Условие принадлежности трех точек одной прямой.

Необходимым и достаточным условием принадлежности трех точек A, B, C одной прямой является выполнение равенства OA=xOC+(1- x)OB, где O – любая точка, а x – некоторое число.

Необходимость

Пусть точки A, B, C принадлежат одной прямой. Тогда векторы A B и CB коллинеарны, т.е. существует такое число x, что A B = x CB (1). По правилу вычитания векторов для произвольной точки O cсправедливо равенство

AB =OB-OA, CB =OB-OC, подставим эти выражения в равенство (1) и после преобразований получим: OA= x OC + (1- x)OB.

Достаточность

Пусть выполняется равенство OA= x OC + (1- x)OB. Покажем, что точки

точки A, B, C принадлежат одной прямой. Раскрывая скобки и выполнив преобразования, получим, OA- OB = x(OC- OB) или BA = xBC, по условию коллинеарности векторов векторы BA и BC коллинеарны, а поскольку они имеют общее начало, то точки A, B, C принадлежат одной прямой. Доказательство закончено.

Угол между векторами= 3

Угол между векторами

Определение1

Углом между ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Угол между векторами изменяется от 0° до 180°

Определение2

Угол между произвольными двумя векторами равен углу между равными им векторами, имеющими общее начало.

Скалярное произведение векторов = 4

Определение 1

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение длин этих векторов и косинуса угла между этими векторами:

ab =|a||b|cosα

Если хотя бы один из векторов равен нулевому, то их скалярное произведение равно нулю.