Тензор поворота.

Другая особенность вектора это

Отметим, что Рассмотрим частный случай, когда

если это выполняется, то

получается формула поворота абсолютно твёрдого тела на малый угол относительно некоторого тела.

Единственное условие чтобы

Компоненты вектора перемещения и компоненты тензора деформации.

Диагональные компоненты тензора деформации Коши характеризуют относительное изменение длин элементарного объёма вдоль соответствующих координатных осей.

Недиагональные компоненты тензора деформации Коши характеризуют изменения первоначально прямого угла.

Если , то происходит растяжение угла

Если , то сжатие

Если , то значит что прямой угол переходит в острый

Если , то прямой угол переходит в тупой

Если , то сдвига никакого нет.

Первая теорема Гейнгольца а перемещениях.

Перемещение элементарного объёма сплошной среды может быть представлена в виде суммы перемещений полюса, вращение относительно полюса и деформационного перемещения, связанного с растяжением(сжатием) и сдвигом.

Д-во: Перемещение точки А характеризует вектор

элементарный угол поворота.

Совместность деформаций Коши.

Эта тройка образует Сен-Венана

вторая тройка деформации Сен-Венана

- несовместимость (ротор от транспонированного ротора).

Один элементарный объём не может накладываться на другой и невозможно образование пустот. Это есть несовместность.

Инвариант тензора деформации.

3 инварианта:

1. линейный

2. квадратичный

3. кубический

суммирование по i.

Любой симметричный положительно определённый тензор второго ранга можно привести к диагональному виду. Т.е. координатные оси, в которых тензор положителен, будут называться диагональными.

Характеристическое уравнение, где коэффициенты характеристического уравнения.

интенсивность сдвиговой деформации.

Объёмная деформация.

После деформации получается новый объём.

Относительное изменение объёма

Первый инвариант тензора деформации характеризует изменение объёма.

Дивиаторная(шаровая) часть тензора деформации.

Модификации Грина и Альманси.

Оболочка – когда поверхность непрерывна.

Пластины – тонкие тела.

Будем получать тензор деформации Грина.

В качестве измеримой характеристики возьмём параметр изменения длины.

- тензор деформации Грина.

Деформация Альманси.

Связь между линейной и нелинейной деформацией.

суммирование по j.

1. Если компоненты тензора деформации Коши и тензоры поворота малой величины и одного порядка друг с другом, можно использовать линейную теорию деформации, т.е. теорию деформации Коши.

2. Если компоненты тензора деформации Коши и тензоры поворота малой величины, но при этом , то уравнение для нелинейных деформаций можно оставить только квадратичную комбинацию углов поворота.

3. Если углы поворота велики, необходимо использовать нелинейную меру деформации

Рассмотрим случай, когда компоненты тензора поворота являются малыми величинами, но превосходят компоненты тензора деформации Коши.

RG – редуцированный тензор.