Струя. Поверхность тока. Трубка тока.

Возьмём некоторую совокупность точек, лежащую на некоторой кривой и проведём траекторию. Это будет представлять собой поверхность , это и будет поверхностью траектории.

Часть сплошной среды, ограниченной поверхностью, образованной траекториями проходящими через некоторый замкнутый контур, называется струёй, этот подход соответствует подходу Лагранжа.

Часть пространства, ограниченного линиями тока, проходящими через некоторый замкнутый контур, называется трубкой тока, если контур не замкнутый , то говорят о поверхности тока. Запишем уравнение поверхности тока.

мы получаем дифференциальное уравнение поверхности тока.

Движение элементарного объёма как абсолютно твёрдого тела.

- вихревая скорость.

Если отлично от нуля, то говорят о завихрённом течении.

Если =0, то говорят о течении безвихревом.

Вихревая линия – это векторная линия, в каждой точке которой в данный момент времени, вектор завихрённости будет направлен по касательной.

- это дифференциальные уравнения вихревой линии.

Если линии тока и вихревые линии совпадают, то это называется вихревым течением.

Вихревая поверхность – это совокупность вихревых линий, проходящих через некоторое поле.

Если контур является замкнутым, то говорят о вихревой трубке.

Опр.Поток завихрённости (или интенсивность вихревой трубки).

- интенсивность вихревой трубки.

Теорема(вторая теорема Гельмгольца)

Интенсивность вихревой трубки через любое её поперечное сечение одинаково в данный момент времени.

Д-во:

Введём понятия Циркуляция скорости и циркуляция ускорения .

Теорема Стокса. Циркуляция скорости по заданному контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз её опоясывающему = удвоенной интенсивности вихревой трубки.

Теорема Кельвина: Производная по времени от циркуляции скорости по заданному контуру, состоящему из одних и тех же частиц равен циркуляции ускорения по этому же контуру.

Д-во:

Течение называется потенциальным если существует скалярная функция , называемая потенциалом скорости, такая что её градиент равен вектору скорости Покажем, что любое течение является завихревым.

если , то всегда можно найти такую функцию

Циркуляция скорости потенциального вектора =0.

Контурный интеграл вектора скорости потенциального течения по произвольному контуру не зависит от пути интегрирования, определяется только начальным и конечным положениями.

Аффинная деформация элементарного объёма.

Элементарный параллелепипед, выделенный в теле преобразования, переходит в другой параллелепипед и углами между ними.

Если эти условия будут выполняться, то и будут выполняться следующие:

- Точки элементарного объёма до деформации лежащие в одной плоскости, после аффинной деформации будут также лежать в одной плоскости.

- Точки элементарного объёма, лежащие на одной прямой после аффинной деформации будут так же лежать на одной прямой.

- Две параллельные прямые до деформации останутся параллельными и после деформации.

Перейдём к деформации в переменных Лагранжа.

, поэтому

- градиент смещения или тензор дисторсии.

тензор деформации Коши-Лагранжа

- Тензор поворота Коши-Лагранжа

здесь компоненты определены в смешанном базисе.

В рамках Эйлерова подхода мы можем рассматривать в поле перемещения точек сплошной среды.

В символьной форме формула такая же, как и в подходе Лагранжа.

В начальный момент времени t=0 (Лагранжа и Эйлерова деформации совпадают)