Векторное произведение.
Рассмотрим в евклидовом пространстве
билинейную кососиметричную ситуацию,
ставящую в соответствие двум векторам
и
третий вектор
.
Свойства:
Правила:
в
правой системе координат
в
левой системе координат
Двойное векторное произведение.
Смешанное произведение.
- тензор Леви-Чивита.
Правая расстановка (1,2,3; 3,1,2; 2,3,1)
Левая расстановка (1,3,2; 3,2,1; 2,1,3);
Взвимный базис.
Ось
перпендикулярна
плоскости рисунка и смотрит на нас.
Основные свойства взаимного базиса:
Базис взаимный по взаимному, является основным.
Вывод:
должна быть обратной к матрице B.
Вектора взаимного базиса преобразуются
по контрвариантному закону.
Метрика взаимного базиса.
Жонглирование индексами.
Векторное произведение.
Инвариант вектора.
Рассмотрим две системы координат.
Новая система координат
Старая система координат
Модуль вектора – это величина инвариантная.
Тензор второго ранга.
Рассмотрим некоторую систему координат.
- направленные отрезки.
Опр. Тензором второго ранга называется обьект любой физической природы, представляющий собой совокупность 9 величин, называемых компонентами тензора, преобразующихся при переходе от одной системы к другой, так же как произведение кординат.
Диарное произведение векторов.
Введём в рассмотрение билинейную
операцию, ставящую в соответствие двум
векторам
и
тензор второго ранга Т, который назовём
диарным произведением векторов.
- диарное произведение векторов.
Диарный базис:
- контрвариантные компоненты в
ковариантном базисе.
- контрковариантная компонента тензора
в ко ковариантном базисе.
Операции с тензорами.
Операция жонглирование индексами.
Операция сложения двух тензоров. Складывать можно только тензоры с одинаковым рангом, базисы должны быть одинаковыми.
Умножение тензора на скаляр.
Транспонирование тензора.
Скалярное произведение вектора и тензора.
Скалярное произведение тензоров.
Операция векторное произведение.
Диарное произведение
Опирация симметрирования и альтернирования
Любой тензор второго ранга можно представить в виде двух тензоров: семетричного и кососиметричного.
Существующий аксиальный вектор. Всякому кососиметричному вектору второго ранга можно поставить в соответствие существующий аксиальный вектор.
Введём вектор
,
где
- кососиметричный тензор.
Инварианты тензора второго ранга.
первый инвариант (линейный).
вотрой
инвариант (квадратичный)
третий инвариант (кубический)
Тензор дивиатр и шаровой (сферический тензор).
Тензор является дивиатором, если его первый инвариант равен 0.
Тензор будет называться шаровым или сферическим, если его можно представить как скалярное произведение величины на единичный вектор.
Теор. Всякий тензор второго ранга можно разложить на шаровую и дивиаторную часть.
Доказательство:
