Вопросы для самопроверки

1. Как распределены термины в общеутвердительных, общеотрицательных, частноутвердительных и частноотрицательных выделяющих суждениях?

2. Почему силлогизмы с выделяющими посылками не подчиняются некоторым правилам?

§ 4. Умозаключения из суждений с отношениями

Умозаключение, посылки и заключение которого являются суждениями с отношениями, называется умозаключением с отношениями.

Например:

Петр – брат Ивана.

Иван – брат Сергея.

__________________

Петр – брат Сергея.

Посылки и заключение в приведенном примере – суждения с отношениями, имеющие логическую структуру xRy , где х и у – понятия о предметах, R – отношения между ними.

Логическим основанием умозаключений из суждений с отношениями являются свойства отношений, важнейшие из которых – 1) симметричность, 2) рефлексивность и 3) транзитивность.

1. Отношение называется симметричным (от греческого simmetria– «соразмерность»), если оно имеет место как между предметами х и у , так и между предметами у и х . Иначе говоря, перестановка членов отношения не ведет к изменению вида отношения. Симметричными являются отношения равенства (если а равно b , то и b равно а ), сходства (если с сходно с d , то и d сходно с с ), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у , значит, и событие у произошло одновременно с событием х ), различия и некоторые другие.

Отношение симметричности символически записывается:

xRy → yRx .

2. Отношение называется рефлексивным (от латинского reflexio («отражение»), если каждый член отношения находится в таком же отношении к самому себе. Таковы отношения равенства (если а = b , то а = а и b = b ) и одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у , значит, каждое из них произошло одновременно с самим собой).

Отношение рефлексивности записывается:

xRy → xRx ∧ yRy

3. Отношение называется транзитивным (от латинского transitivus – «переход»), если оно имеет место между х и z тогда, когда оно имеет место между х и у и между у и z . Иначе говоря, отношение является транзитивным (переходным) тогда и только тогда, когда из отношения между х и у и между у и z следует такое же отношение между х и z .

Транзитивными являются отношения равенства (если а равно b и b равно с , то а равно с ), одновременности (если событие х произошло одновременно с событием у и событие у одновременно с событием z , значит, событие х произошло одновременно с событием z ), отношения «больше », «меньше » (а меньше b , b меньше с , значит, а меньше с ), «позднее », «находиться севернее (южнее, восточнее, западнее)», «быть ниже, выше» и т. п.

Отношение транзитивности записывается:

(xRy ∧ vRz) → xRz .

Для получения достоверных заключений из суждений с отношениями необходимо опираться на правила:

Для свойства симметричности (xRy → yRx) : если суждение xRy истинно, то суждение yRx тоже истинно . Например:

А подобно В.

_____________

В подобно А.

Для свойства рефлексивности (xRy → xRx ∧ yRy ): если суждение xRy истинно, то истинными будут суждения xRx и yRy . Например:

а = b.

_________

а = а и b = b.

Для свойства транзитивности (xRy ∧ yRz → xRz ): если суждение xRy истинно и суждение yRz истинно, то суждение xRz также истинно . Например:

К. был на месте происшествия раньше Л.

Л. был на месте происшествия раньше М.

_________________

К. был на месте происшествия раньше М.

Таким образом, истинность заключения из суждений с отношениями зависит от свойств отношений и регулируется правилами, вытекающими из этих свойств. В противном случае заключение может оказаться ложным. Так, из суждений «Сергеев знаком с Петровым» и «Петров знаком с Федоровым» не следует необходимого заключения «Сергеев знаком с Федоровым», так как «быть знакомым» не является транзитивным отношением.