6. Жиындар алгебрасының заңдары

Қарапайым алгебрадағы операциялар жиындарға да жоғарыда келтірілген анықтамалар бойынша дәлелденетін заңдар бойынша орындалады. (1.1 кесте) Жиындар алгебрасының ерекшеліктерінің бірі идемпотенттілік заңы болып табылады, соның арқасында жиындар алгебрасында сандық коэффициенттер мен дәрежелер жоқ.

1.1 кесте

Жиындар алгебрасының заңдары

№	Формулалар	Атауы
1	A = ; A = A; A =	Құр жиынның қасиеті
2	AU = U; AU = A; AĀ = U	Әмбебап жиынның қасиеті
3	AB = BA; AB = BA	Коммутативтілік заңы
4	(АВ)С=А(ВС); (АВ)С=А(ВС)	Ассоциативтілік заңы
5	А(ВС)= (АВ)(АС); А(ВС)= (АВ)(АС)	Дистрибутивтілік заңы
6	=А	Екі рет толықтауыш заңы
7	АА=А; АА=А	Идемпотенттілік заңы
8		Де Морган заңы
9	А(АВ)=А; А(АВ)=А	Жұту заңы

Ұсынылған әдебиеттер:

1. Нұрсұлтанов Қ.Н., Дискретті математика және математикалық логика. – Семей 2002.

2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.

3. Смыслова З.А.. Дискретная математика (Учебное пособие), Томск, 2000.

4. Қ.Жетпісов., Математикалық логика және дискретті математика. Алматы, 2011.

5. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических заниятий.- СПБ.: БХВ-Петербург 2005. - 416стр.

6. Тишин В.В. Дискретная математика в задачах и примерах. БХВ-Петербург 2008.

Дәріс 3

Дәріс сабақтың құрылымы:

1.2. Бинарлы қатынастар

1. Жиындардың декарттық көбейтіндісі

2. Бинарлық қатынастың анықтамасы

3. Бинарлық қатынастың берілу тәсілдері

4. Бинарлық қатынастардың қасиеттері

5. Эквиваленттік қатынастар

6. Реттік қатынастар

1. Жиындардың декарттық көбейтіндісі

X және Y екі жиынның декарттық көбейтіндісі деп , ал болатындай барлық реттелген ( x,y ) жұбының жиынын айтады.

1 Мысал. Айталық болсын. Онда

,

.

болатыны айқын, яғни жиындарды декарттық көбейту опрациясы үшін коммутативтілік заңы орындалмайды.

Жиындарды декарттық көбейтуді график түрінде бейнелеп көрсетуге болады. 1.7 суретте жұлдызшамен жиынының элементтері белгіленген. жиындарының декарттық көбейтіндісі деп болатындай барлық реттелген жиынтықтар жиынын айтамыз.

2. Бинарлық қатынастың анықтамасы

Айталық үш адамның ішінде (оларды Қанат, Жанат және Болат деп атайық) екеуі бір бірімен таныс (Қанат және Жанат) және үшіншіні таныйды (Болат), бірақ ол оларды танымайды. Осы адамдар арасындағы қатынасты қалай сипаттауға болады? Х={А.В,С} жиынын аламыз, оның элементтерінен (А,В), (В,А), (А,С), (В,С) реттелген жұптар құрылған, яғни декарттық көбейтіндінің қайсыбір ішкі жиыны бөліп көрсетілген. Осы ішкі жиын Х жиынының элементтерінің арасындағы байланысты сипаттайды.

Анықтама. X жиынында R бинарлық қатынасы берілген деп атайды, егер декарттық көбейтіндінің ішкі жиыны берілсе (яғни )

2 Мысал: Айталық Х жиынында келесі қатынастарды берейік:

– теңдік қатынасы;

–отношение предшествования;

делится на – бөлінгіштік қатынасы.

Бұл қатынастардың барлығы сипаттауыш қасиеттердің көмегімен берілген. Төменде бұл қатынастардың элементтері келтірілген:

( x, y ) жұбы берілген R қатынасына тиісті дегенді былай жазамыз: немесе xRy. Мысалы Q қатынасы үшін 4Q2 жазуы 4 2-ге бүтін бөлінеді дегенді білдіреді, яғни

R бинарлық қатынастың анықталу облысы деп жиынын айтады.

мәндер облысы деп жиынын айтады.

2 мысалдағы Р қатынасы үшін анықталу облысы , ал мәндер облысы болады.