1 . Негізгі терминдер
Бағытталмаған граф деп
(неорграф деп) реттелген
жұбын айтады, мұндағы X
– G
неорграфының төбелерінің жиыны, ал U
–төбелердің реттелмеген
жұптарының жиыны (неорграф
қабырғасы). Неорграфтың
кез келген екі төбесі бір ғана қабырғамен
қосылуы мүмкін. Екі төбе сыбайлас деп
аталады, егер олар қабырғамен қосылған
болса. Екі қабырға сыбайлас деп аталады,
егер олардың ортақ төбесі болса. Төбе
қабырғаға инцидентті болады, егер ол
қабырғаның бір ұшы болып табылса. x
төбесінің
дәрежесі x
төбесіне инцидентті қабырғалар санына
тең.
неорграфының барлық төбелерінің
дәрежесінің қосындысы қабырғаның екі
еселенген санына тең:
Неорграф бос (құр) деп аталады
(
деп белгіленеді) егер барлық төбелері
нөлінші дәрежелі болса (3.3, а
сурет). Неорграф толық
деп аталады (
деп белгіленеді), егер оның барлық
төбелері бір-бірімен сыбайлас болса
(3.3, б сурет).
Неорграф екі үлесті деп
аталады, егер оның төбелерінің жиынын,
сыбайлас төбелері әр түрлі ішкі жиында
жататындай екі бос емес
және
ішкі жиынына бөлуге болса (
3.3,
в сурет).
болатындай толық екі үлесті граф былай
белгіленеді
(3.3,
г сурет).
Бұдан ары қарай біз «неорграф» терминінің орнына «граф» деп айтатын боламыз.
графы
графының ішкі графы деп аталады, егер
болса.
ішкі
графы
графының ішкі остов (қаңқа) графы деп
аталады, егер
болса. 3.4, б,
в суреттерінде
G
графының остов ішкі графтары келтірілген.
2. Графтың матрицасы
Айталық
неорграф болсын,
сонымен қатар
.
Графтың төбелерін
нөмірлейік:
.
G графының
сыбайластық матрицасы
деп
өлшемді А
квадраттық матрицасын айтады, оның
элементтері
Неорграфтың сыбайластық
матрицасының екі ерекшелігі бар:
а) матрицаның
бас диагоналында тек қана нөлдер тұрады:
,
себебі неорграфта
тұзақ жоқ;
б) матрица
бас диагональға қатысты
симметриялы:
,
себебі қабырға төбелердің
реттелмеген жұбы болып табылады.
Енді графтың қабырғаларын
да нөмірлейік:
.
G графының
инциденттілік матрицасы деп
өлшемді тік төртбұрышты В
матрицасын айтады, оның элементтері
Инциденттілік матрицасының әрбір бағаны графтың бір қабырғасына сәйкес келеді, сондықтан да осы матрицаның әрбір бағанында тура екі бірлік болады.
Ұсынылған әдебиеттер:
1. Нұрсұлтанов Қ.Н., Дискретті математика және математикалық логика. – Семей 2002.
2. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. –М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002.
3. Смыслова З.А.. Дискретная математика (Учебное пособие), Томск, 2000.
4. Қ.Жетпісов., Математикалық логика және дискретті математика. Алматы, 2011.
5. Шапорев С.Д. Математическая логика. Курс лекций и практических заниятий.- СПБ.: БХВ-Петербург 2005. - 416стр.
6. Тишин В.В. Дискретная математика в задачах и примерах. БХВ-Петербург 2008.
Дәріс 13
Дәріс сабақтың құрылымы:
Планарлы графтар
1. Графтардың изоморфизмі
2. Планарлылық критерийі
1. Графтар изоморфизмі
Айталық
және
неорграфтары
берілсін.
және
графтары
изоморфты деп аталады, егер сыбайластық
қатынасын сақтайтын
-дің
-ге
биекциясы бар болса. Бұл
дегеніміз
графында
төбелері
қабырғасымен
сонда тек сонда ғана қосылады, қашан
графында олардың
бейнесі
қабырғасымен қосылатындай
биекциясы бар болады (1.4.1
қараңыз). Анықтамадан
төбелерінің саны немесе қабырғаларының
саны сәйкес келмейтін екі граф изоморфты
бола алмайтындығы шығады.
Мысалы.
және
(3.6
сурет) графтары изоморфты, себебі олардың
тобелері мен қабырғаларының саны бірдей
(
),
және де сыбайластық қатынасын сақтай
отырып,
графын
-ге
биективті бейнелеуге болады:
И
зоморфты
графтар үшін
белгілеуі қолданылады. Изоморфты
графтардың сыбайластық матрицасы бір
–бірінен бір уақытта (біріңғай) жол
және бағандарының алмасуымен алынады.
Планарлық
Көп жағдайларда графтарды
олардың қабырғалары қиылыспайтындай
етіп бейнелеуге тура келеді. Мысалы,
микросхемаларды баспа әдісімен жасаған
кезде электр шынжырлары изоляционды
материалдың жазық бетіне жабылады. Ал
алайда өткізгіштер оқшауланбаған
болғандықтан, онда олар қиылыспауы
керек. Графты жазық
деп атаймыз, егер де олардың төбелері
жазықтықтың нүктесі болса, ал қабырғаларын
– өзара қиылыспайтын үзіліссіз жазық
түзу деп, сонымен қатар екі қабырғаның
ортақ нүктесі жоқ. Жазық графқа изоморфты
кез келген графты планарлы деп атаймыз.
Сонымен,
(3.6
сур.) графы жазық, ал
графы– планарлы (себебі
жазық графына изоморфты). Сондай –ақ
планарлы емес графтар да бар. Олардың
бірі «үш үй және үш құдық» есептерінде
кездеседі: үш үй және үш құдық бар (газ,
су және жарық); әрбір үйді әрбір құдықпен
байланысу сызықтары қиылыспайтындай
етіп қосу керек. Бұның үлгісі ретінде
планарлы емес графы алынады. Планарлы
емес графқа сондай – ақ
графы жатады (3.7 сур.).
