Математикалық логиканың элементтері Пікірлер логикасы

1. Математикалық логиканың тарихы. Пікір түсінігі

2. Пікірлерге қолданылатын амалдар. Ақиқаттылық кестесі

3. Пікірлер логикасының формулалары. Формулаларды тепе – тең түрлендіру

1. Математикалық логиканың тарихы

Логика адамзат ойлауының заңдылығы жайлы ғылым ретінде ерте заманда қалыптасты. Формальді логиканың негізін салушы ретінде Аристотельді (б.з.б. IV ғ.) айтады. Біз бүгінгі күнге дейін әлі осы ғалым енгізіп кеткен ойлау классификациясын қолданып келеміз. Аристотель ең бірінші болып До сих пор мы пользуемся классификацией суждений, введенной этим древнегреческим ученым, именно он впервые обратил внимание на то, что рассуждения мы проводим, исходя из структуры утверждений, а не из их конкретного содержания.

Он жетінші ғасырдың аяғында логика жайлы сұрақ неміс ғалымы Г. Лейбницті қызықтырды (1646-1716 гг.). Ол логика «есептеу өнері» болуы керек деп есептеді. Негізгі түсініктер ерекше символдармен белгіленуі керек, оларды біріктіретін ортақ ереже болу керек, сонда кез келген тұжырымды есеппен алмастыруға болады деп есептеді. Осы ойлардың кейбіреуін өзінің жұмысында ағылшын ғалымы Дж. Буль жартылай жүзеге асырды. (1815-1864жж.). Ол пікірлер алгебрасын құрды. (кейіннен оны логика алгебрасы деп атады). Бульдің жұмысы математикалық логиканың дамуының бастамасы болды. (ал аристотельдің логикасын дәстүрлі формальды логика деп атайды).

ХІХ ғасырдың аяғында логика математикалық ойларды және негізгі түсініктерді негіздеуге қолданыла бастады. Математикалық теорияны құру үшін аксиоматикалық әдіс қолданылады: осы теорияның негізгі түсінгі(аксиома) дәлелдеусіз беріледі, бұлардан логикалық түрде оның барлық мазмұны шығады. Бұның логикалық құралына берілген теорияның нәтиже шығару еределері жатады.

Жиырмасыншы ғасырдың басында математикалық логика техникада, кейіннен жаға ғылым кибернетикамен де тығыз байланыстылығы анықталып, кеңінен қолданысқа ие болды. Математикалық логиканың бір бөлігі ретінде жаңа математикалық пән – алгоритмдер теориясы пайда болды.

Пікір түсінігі

Жиындар теориясын оқыған кезде «жиын» түсінігіне қатаң анықтама берге жоқ болатынбыз, оны анықталмайтын түсінік ретінде қарастырдық. Математикалық логиканы оқыған кезде біз осы жолды таңдаймыз: «пікір» түсінігіне қатаң анықтама бермейміз, пікір деп, ол туралы ақиқат немесе жалған деп айтуға болатын кез келген хабарлы сөйлемді түсінеміз. Сонымен қатар пікір бір уақытта ақиқат та, жалған да бола алмайды. Мысалы, “ ” – «жалған» мәнін қабылдайтын пікір (Ж), “ ” – «ақиқат» мәнін қабылдайтын пікір (А), ал “ ” пікір болып табылмайды.

2. Пікірлерге қолданылатын амалдар

Қарапайым тілде бірнеше жай сөйлемнен «және», «немесе» және т.с.с. союздарын қолдану арқылы күрделі сөйлем құрауға болады. Сондай – ақ, логикалық союздарды- логикалық амалдарды қолдана отырып, құрама пікірлер құрамыз.

Х пікірінің терістеуі (инверсиясы) деп сонда тек сонда, қашан Х жалған болған кезде ғана ақиқат болатын пікірді айтады. ( ол былай белгіленеді немесе ,оқылуы “X емес” немесе “X екендігі жалған”).

Екі пікірдің конъюнкиясы деп сонда тек сонда ғана қашан екі X және Y пікір де ақиқат болғанда ғана ақиқат болатын пікірді айтады. Бұл логикалық операция пікірлердің «және» союзымен біріктірілуіне сәйкес келеді.

X және Y екі пікірдің дизъюнкциясы деп сонда тек сонда ғана қашан екі X және Y пікірлері жалған болған кезде ғана жалған болатын пікірді айтады. Бұл логикалық операцияға «немесе» союзы сәйкес келеді.

X және Y екі пікірдің импликациясы деп сонда тек сонда ғана, қашан X ақиқат, ал Y жалған болған кезде ғана жалған болатын пікірді айтамыз. (ол былай белгіленеді ; оқылуы “егер X болса, онда Y”). Бұл амалдардың операндаларының арнай атаулары бар: X – посылка, Y – қорытынды.

X және Y екі пікірдің эквиваленциясы деп сонда тек сонда ғана, қашан X және Y –ң ақиқаттылық мәндері бірдей болған кезде ғана ақиқат болтын пікірді айтады (былай белгіленеді: ).

Ақиқаттылық кетесі

Логикалық амалдардың операндалары тек екі мәнді ғана қабылдай алады: А немесе Ж. Сондықтан да әрбір логикалық амалдарды , &, , ,  операндалардың мәніне тәуелді амалдардың нәтижесінің мәнін көрсету арқылы кесте түрінде оңай беруге болады. Мұндай кесте ақиқаттылық кестесі деп аталады. ( 2.1 кесте).

2.1 кесте

Логикалық амалдардың ақиқаттылық кестесі

X	Y	 X	X&Y	XY	XY	XY
А	А	Ж	А	А	А	А
А	Ж	Ж	Ж	А	Л	Ж
Ж	А	Ж	Ж	А	А	Ж
Ж	Ж	А	Ж	Ж	А	А