4.2.5 Метод подібності

Метод подібності полягає в тому, що спочатку будується деяка фігура, подібна шуканої, але задовольняє не всім поставленим в задачі умов. Потім побудовану допоміжну фігуру замінюємо фігурою, подібною до неї і задовольняє вже всім необхідним умовам [18].  Завдання вирішується методом подібності, якщо її умова можна розділити на дві частини, одна з яких визначає форму фігури з точністю до подібності, а друга - розміри фігури. При вирішенні завдань в класі або розборі завдань з домашнього завдання на цей метод слід задавати учням питання: Що (яка частина) в умові завдання визначає фігуру з точністю до подібності? Що визначає розміри шуканої фігури?  Методичні рекомендації за методом подібності [10]. При розробці методу подоби доцільно класифікувати розв'язувані задачі за способом завдання розмірів шуканої фігури:  1) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються завданням деякого відрізка;  2) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються завданням суми або різниці деяких її відрізків;  3) завдання, в яких розміри шуканої фігури визначаються положенням її відносно даних фігур.  Така класифікація зручна, головним чином, тому, що для кожної з трьох груп завдань способи вибору центру подоби різні.  У завданнях з першої групи за центр подоби краще всього вибирати один з кінців відрізка допоміжної фігури, відповідного даному відрізку, через який проходить найбільше число прямолінійних відрізків шуканої фігури, так як при гомотетии лише прямі, що проходять через центр подоби, перетворюються самі в себе. При такому виборі легко знаходити одну точку (другий кінець даного відрізка) шуканої фігури, що в більшості випадків значно полегшує виконання подальшої побудови.  І для завдань другої групи за центр подібності можна вибирати один з кінців побудованої суми або різниці відрізків, відповідної даної. Доцільно розчленувати подібне перетворення: окремо знайти один з відрізків, сума або різниця яких дана, а потім виконати побудову шуканої фігури.  При вирішенні завдань третьої групи центр подоби вже визначається, і в більшості випадків однозначно, розташуванням фігури, подібної шуканої, щодо даних фігур.  У Додатку 4 наведено рішення завдання на метод подібності: "Побудувати трапецію ABCD за кутом А і підставі ПС, якщо відомо, що AB: CD: AD = 1:2:3".

27. Допоміжний елемент – відрізок (або відношення довжин відрізків). Його зручно ввести, якщо фігури подібні. Тоді за допомогою пропорцій або геометричних побудов складається рівняння, в якому цей елемент як член рівняння скорочується, а знайти шуканий стає не важко.

Задача. Основи трапеції –  a і b (a < b). Пряма, яка перетинає бічні сторони трапеції в точках М і N, проходить через точку перетину діагоналей паралельно основам. Знайти довжину відрізка МN.

Розв’язання. Введемо як допоміжні елементи h₁, h₂, h – висоти трикутників відповідно MBO, AMO і BCA (рис.1).

Позначимо х відрізок МО. Трикутники МВО і ABD – подібні: .

З подібності трикутників АМО і АВС випливає:   , отже . Але , тому ;   .

Маємо (обчислюється аналогічно).

28. Застосування кута як допоміжного елемента пов’язано з тригонометрією. Теореми синусів, косинусів, розв’язання трикутників дозволяють звести задачу до доведення тригонометричної тотожності, тригонометричних нерівностей або до розв’язання рівнянь чи нерівностей.

Задача. Довести, що в трикутнику АВС: , де D – точка перетину бісектриси кута ВАС зі стороною ВС.

Доведення. Введемо позначення (рис.1), , .

За теоремою синусів з трикутника АDВ дістаємо . З трикутника CAD випливає , або . Отже, .

29. Введення площі як допоміжного елемента аналогічне введенню лінійного елемента – відрізка. Порівнюючи площі фігур, можна дістати рівняння відносно невідомих задачі або необхідне співвідношення у вигляді формули.

Краще знаходити чи порівнювати ті площі, сума (різниця) яких дає площу заданої фігури або відношення площ тих фігур, у яких лінійні елементи – шукані, або є компонентами співвідношення у вигляді формули.

Задача. У прямокутному трикутнику АВС ( ) (h – висота). Довести. 

Доведення. Позначимо S площу трикутника АВС (рис. 1).

Тоді і , отже, .

30. При застосуванні периметра як допоміжного елемента використовують наступні твердження:

1)    якщо в трикутник АВС вписано коло, де К₁, К₂, К₃ – точки дотику кола до сторін ВС, АС, АВ (рис.1), то :

АК₃ = АК₂ = р – а;

ВК₃ = ВК₂ = р – b;

СК₃ = СК₂ = р – с.

      Рис.1

2)    відстані від точок дотику зовні вписаного кола, які належать продовженню двох сторін трикутника АВС до їх спільної вершини, дорівнюють півпериметру трикутника АВС (рис. 2).

            Рис. 2

Задача. У прямокутному трикутнику АВС ( ) АК₃ = т, ВК₃ = п. Знайти площу трикутника АВС.

Розв’язання. Введемо периметр 2р. Тоді АК₃ = р – а, ВК₃ = р – b (рис. 3), , звідки .

31. Метод допоміжних точок

При допоміжних побудовах можна користуватися точками, про які в умові задачі нічого не повідомляється. Ці точки називають допоміжними. Вивчення таких точок і їх властивостей збагачує досвід розв’язання задач, допомагає правильно та раціонально намітити схему розв’язку, а головне – зробити усвідомленими допоміжні побудови.

Використовують такі допоміжні точки при розв’язуванні задач:

·        допоміжні точки – чудові точки трикутника: ортоцентр, центроїд, інцентр, центр зовні вписаного кола;

·        допоміжна точка – центр кола;

·        симетричні точки.

32. Метод допоміжних прямих

Використовують такі побудови допоміжних прямі при розв’язуванні задач:

·        побудова паралельних прямих;

·        побудова перпендикулярних прямих;

·        побудова рівних відрізків та відрізків певної довжини.

        Рис. 1   

Задача. Довести, що кут з вершиною в середині кола дорівнює півсумі дуг, що знаходяться між його сторонами.

Доведення. Нехай хорди АВ і DC перетинаються в точці Е (рис.1). Доведемо, що , де α і β – градусні  виміри дуг ВС і AD. Проведемо хорду АР, паралельну хорді DC. Оскільки дуга РС дорівнює дузі АD, то і

33. Метод допоміжних фігур

Найчастіше використовують такі допоміжні фігури при розв’язуванні задач:

·        допоміжна фігура – трикутник;

·        допоміжна фігура – паралелограм;

·        допоміжна фігура – трапеція.

Задача.Побудуйте трикутник за даною стороною a, прилеглим до неї кутом α і сумою двох інших сторін b.

Розв’язання.

Аналіз. Припустимо, що шуканий трикутник уже побудовано. За даними відрізками і кутом між ними можна побудувати ∆ABD. Вершиною С шуканого трикутника буде така точка, для якої ВС=CD. Виходячи з рівнобедреного трикутника CBD, у якого медіана є висотою, точка С має лежати на серединному перпендикулярі сторони BD.

Побудова.

1) За двома сторонами і кутом між ними будуємо ∆ABD.

2) Будуємо серединний перпендикуляр сторони BD.

3) Цей серединний перпендикуляр в перетині із стороною AD дасть точку С.

4) Побудувавши сторону ВС, отримаємо шуканий трикутник.

Доведення. ∆АВС є шуканим, так як AB=a, A=α, AC+BC=b.

Дослідження. Задача має розв’язок, якщо a b.