5. При паралельному перенесення у просторі кожна площину переходить або у себе, або у паралельну її площину.

          Справді, нехай a - довільна площину, проведемо у цій площині дві пересічні прямі a і b. При паралельному перенесення прямі a і b переходять або у себе, або у паралельні прямі a' і b'.Плоскость a перетворюється на деяку площину a', яка стелиться через прямі a' і b'. Якщо площину a' не збігаються з a, то теоремі про поїздку двох від перетинання прямих площині відповідно паралельними з пересічними прямими іншій площині, вона паралельна a, що потрібно було довести.

25. Перетворення подібності площині. Гомотетія площині

Визначення. Хай є дві прямокутній декартовій системі координат Oij і O ^/ i ^/ j ^/, при цьому | i ^/ | = | j ^/ | = k | i | = k | j | = k (k> 0). Тоді перетворення площині, яке кожної точки М з координатами (x, y) щодо O ^/ i ^/ j ^/ ставить відповідно точку М 'з тими ж координатами (x, y), але відносно Oij, називається перетворенням подібності площині з коефіцієнтом подібності k .  З визначення випливає, що тотожне перетворення і рух є перетвореннями подібності.  Основна властивість перетворення подібності.  Перетворення подібності площині змінює відстань між будь-якими двома точками площини в одному і тому ж відношенні, що дорівнює коефіцієнту подібності k, тобто для будь-яких точок М, N і їх образів М ', N' виконується рівність | M ^/ N ^/ | = k   .  Доказ. Нехай щодо Oij точки М і N мають координати: М (x _1, y _1), N (x _2, y _2). Тоді   =  Образи М 'і N' точок М, N мають відповідно ті ж координати (x _1, y _1), (x _2, y ₂₎ щодо системи координат O ^/ i ^/ j ^/. Знайдемо:   = =   =   =   =   =   , Так як   і   .  Властивості перетворення подібності.   Перетворення подібності площині всяку пряму відображає в пряму.   Перетворення подібності площині відображає полуплоскость з кордоном   в полуплоскость з кордоном   де   . 

 Перетворення подібності площині зберігає просте відношення трьох точок прямої.   Перетворення подібності площині зберігає відношення "лежати між".   Перетворення подібності площині відображає кут у рівний йому кут.   Перетворення подібності площині відображає відрізок у відрізок, промінь в промінь.   Перетворення подібності площині відображає паралельні прямі в паралельні прямі.  Слідство. Перетворення подібності площині відображає паралелограм в паралелограм.   Перетворення подібності площині відображає вектор в вектор, суму векторів в суму векторів і добуток кількості на вектор у твір того ж числа навідповідний вектор.  Теорема. Якщо перетворення подібності f з коефіцієнтом подібності k задано двома системами координат Oij і O ^/ i ^/ j ^/, при цьому   і O ^/ (x _0, y _0), то координати будь-якої точки M (x, y) _Oij і її образу M ^/ (x ^/, y ^/) _O ^/ _i ^/ _j ^/ пов'язані співвідношеннями:   де   (1)  Доказ спирається на визначення перетворення подібності, на формули, що зв'язують координати однієї і тієї ж точки щодо двох прямокутних декартових систем координат, на розкладання вектора по базисами.  Зауваження. При   системи координат Oij і O ^/ i ^/ j ^/ однаково орієнтовані, а при   протилежний орієнтовані.  Визначення. Перетворення подібності площині, визначається формулами (1) називається перетворенням подібності першого роду при   і перетворенням подібності другого роду при   .  З основного властивості перетворення подібності і вірного твердження, зворотного йому (якщо перетворення площині змінює відстань між точками в одному і тому ж відношенні, що дорівнює k> 0, то воно є перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності k), слід інше визначення перетворення подібності.Визначення. перетворенням подібності площині з коефіцієнтом подібності k> 0 називається перетворення площини, що змінює відстань між будь-якими точками в одному і тому ж відношенні, що дорівнює k.  Гомотетія площині.  Визначення. Гомотетія площині з центром гомотетии О і коефіцієнтом гомотетии   називається перетворенням площині, яке будь-якої точці М площини ставить відповідно точку М ^/ за законом   . 

 Позначення.   - Гомотетія площині з центром гомотетии О і коефіцієнтом гомотетии k.  Визначення. Гомотетічнимі називаються фігури   і   =   .  1) Гомотетічние точки М і М ^/ лежать на одній прямій з центром гомотетии Про.  2) Точки М і М ^/ лежать по один бік від центру О, якщо k> 0, і - по різні сторони, якщо k <0.  3) М ^/ N ^/ = | k | MN.  4) Гомотетія площині є при:  k = 1-тотожним перетворенням;  k =- 1-центральної симетрією.  Формули гомотетии з центром у початку координат:   ,  Якщо центр гомотетии має координати S (x _0, y _0), то формули гомотетии з центром S мають вигляд:   ,  Якщо введемо позначення   ,   то отримаємо формули   ,  Основна властивість гомотетии.  Для будь-яких точок М, N і їх образів   ,   має місце рівність:   .  Доказ. Скористаємося равенствами:   ,   ,   ,   і знайдемо   .  Слідства.  1) Гомотетія з коефіцієнтом   є перетворенням подібності з коефіцієнтом подібності   , Так як з основного властивості слід   або   .  2)   , Якщо k> 0, і   , Якщо k <0.  3) Гомотетія площині має всі властивості перетворення подібності, зокрема: пряму відображає в пряму, паралельні прямі - у паралельні прямі, Змінює всі відстані в одному і тому ж відношенні, зберігає кути.  Характерні властивості гомотетии.   Гомотетія площині має одну нерухому точку - центр гомотетии.   Гомотетія площині відображає пряму, що проходить через центр гомотетии, в себе.   Гомотетія площині (   ) Відображає пряму, в паралельну їй пряму, так не проходить через центр гомотетии.   Гомотетія площині відображає коло, центр якої збігається з центром гомотетии, в концентричне коло. При цьому радіуси кіл зв'язані співвідношенням   .   Всякі дві нерівні окружності гомотетічни один одному, при цьому, якщо кола не є концентричними, існують дві гомотетии, відображають одну з них в іншу.   Гомотетія площині є перетворенням подібності першого роду.  Теорема. Всяке перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k можна представити як композицію гомотетии і руху. 

26. Методи цієї групи мають досить багато спільного. Кожен вивчається, як правило, при розгляді відповідного перетворення, при цьому вирішуються завдання служать для закріплення і більш глибокого засвоєння досліджуваного поняття. Для підвищення ефективності навчання необхідно, щоб, крім початкових уявлень про сам перетворенні, учні вміли виконувати побудову образів фігур при цьому перетворенні, так як використання образу шуканої фігури при побудові є основа кожного з цих методів, їх основна ідея і суть.  Якщо шукану фігуру відразу побудувати важко, то її перетворюють в яку-небудь іншу фігуру, побудова якої можна зробити легше або безпосередньо.  При вивченні цих методів доцільно виділити найбільш характерні ознаки з тим, щоб у майбутньому, аналізуючи задачу, учень міг вибрати відповідний метод. Діюча програма з геометрії не передбачає використовувати ідею геометричних перетворень як керівної ідеї шкільного курсу геометрії, хоча використання геометричних перетворень при розв'язанні задач на побудову має велике методичне значення [25].