2. При русі прямі переходить до прямі,полупрямие – вполупрямие, відтинки – в відтинки

3. При русі зберігаються кути міжполупрямими.

          Доказ. НехайAB іAC – двіполупрямие, які виходять із точки A, не що лежать на неї прямий. При русі ціполупрямие переходить до деякіполупрямие A₁B₁ і A₁З₁. Оскільки рух зберігає відстань, то трикутники ABC і A₁B₁З₁ рівні щодо третього ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників слід рівність кутівBAC і B₁A₁З₁, що потрібно було довести.

4. Рух переводить площину на площину.

         Докажем це властивість. Нехай a - довільна площину. Зазначимо у ньому будь-які трикрапку A, B, З, не що лежать в одній прямий. Проведемо них площину a'.

         Докажем, що з аналізованому русі площину a перетворюється на площину a'.

          Нехай X - довільна точка площині a. проведемо неї якусь пряму a у площині a, що перетинає трикутникABXC у двох точках Y і Z. Пряма а перейде під час руху в деяку пряму a'. Крапки Y і Z прямий a перейдуть у точки Y' і Z', належать трикутникуA'B'C', отже, площині a'.

          Отже пряма a' у площині a'. Крапка X на своєму шляху перетворюється на точку X' прямий a', отже, і в пласкості a', що потрібно було довести.

          У просторі, як і і площині, дві постаті називаються рівними, якщо вони поєднуються рухом.

 

III.    Види руху: симетрія щодо точки, симетрія щодо прямий, симетрія щодо площині, поворот, рух, паралельний перенесення.

          >Симметрия щодо точки

          Нехай Про - фіксована точка і X - довільна точка площині.Отложим на продовженні відрізкаOX за точкуO відрізокOX', рівнийOX. Крапка X' називається симетричній точці X щодо точкиO. Крапка, симетрична точціO, є сама точкаO. Вочевидь, що вищу точку, симетрична точці X', є точка X.

          Перетворення постаті F на постать F', у якому кожна її точка X перетворюється на точку X',симметричную щодо даної точціO, називається перетворенням симетрії щодо точкиO. У цьому постаті F і F' називаються симетричними щодо точкиO.

Якщо перетворення симетрії щодо точкиO переводить постать F у собі, вона називається>центрально-симметричной, а точкаO називається центром симетрії.

          Наприклад, паралелограм єцентрально-симметричной постаттю. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей. 

          Теорему: Перетворення симетрії щодо точки є рухом.

          Доказ. Нехай X і Y - дві довільні точки постаті F. Перетворення симетрії щодо точкиO переводить в точки X' і Y'. Розглянемо трикутникиXOY іX'OY'. Ці трикутники рівні за першим ознакою рівності трикутника. Але вони кути при вершиніO рівні як вертикальні, аOX=OX',OY=OY' з визначення симетрії щодо точкиO. З рівності трикутників слід рівність сторін:XY=X'Y'. Отже, що симетрія щодо точкиO є рух. Теорему доведено.

          >Симметрия щодо прямий

          Нехай g - фіксована пряма. Візьмемо довільну точку X і опустимо перпендикулярAX зв пряму g. На продовженні перпендикуляра за точку A відкладемо відрізокAX', рівний відтинкуAX. Крапка X' називається симетричній точці X щодо прямий g. Якщо точка X лежить на жіночих прямий g, то симетрична їй точка є сама точка X. Вочевидь, що вищу точку, симетрична точці X', є точка X.

          Перетворення постаті F на постать F', у якому кожна її точка X перетворюється на точку X',симметричную щодо даної прямий g, називається перетворенням симетрії щодо прямий g. У цьому постаті F і F' називаються симетричними щодо прямий g.

          Якщо перетворення симетрії щодо прямий g переводить постать F у собі, ця постать називається симетричній щодо прямий g, а пряма g називається віссю симетрії постаті.

          Наприклад, прямі, які відбуваються через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно його сторонам, є осями симетрії прямокутника. Прямі у яких лежать діагоналі ромбу, є його осями симетрії.

          Теорему: Перетворення симетрії щодо прямий є рухом.

          Доказ. Приймемо цю пряму за вісь удекартовой системи координат. Нехай довільна точка A (>x;y) постаті F перетворюється на точку A' (>x';y') постаті F'. З визначення симетрії щодо прямий слід, що з точок A і A' рівні ординати, аабсцисси відрізняються тільки знайома: x' = -x.

          Візьмемо дві довільні точки A (>x;y) і B (>x;y). Вони перейдуть у точки A' (->x;y) і B' (->x;y).

          Маємо:

                  AB²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²

                  A'B'²=(-x₂+ x₁) ²+(y₂-y₁)²

          Звідси видно, щоAB=A'B'. Отже, що перетворення симетрії щодо прямий є рух. Теорему доведено.

         

>Симметрия щодо площині

          Нехай a - довільна фіксована площину. З точки X постаті опускаємо перпендикулярXA на площину a і вкриваю його продовженні за точкуAоткладиваем відрізокAX', рівнийXA. Крапка X' називається симетричній точці X щодо площині a, а перетворення, яке переводить XX стсимметричную їй точку X', називається перетворенням симетрії щодо площині a.

          Якщо точка X у площині a, то вважається, що вищу точку X перетворюється на себе. Якщо перетворення симетрії щодо площині a переводить постать у себе, то постать називається симетричній щодо площині a, а площину a називається площиною симетрії цієї фігури.

          Поворот

          Поворот площині близько даної точки називається такий рух, коли кожен промінь, що виходить із точки, повертається однією і хоча б кут щодо одного й тому самому напрямі. Це означає, що й при поворот близько точкиO точка перетворюється на точку X', то променіOX іOX' утворюють і той ж кут, як і вона була точка X. Цей кут називається кутом повороту. Перетворення постатей при повороті площині також називається поворотом.

          Паралельний перенесення у просторі

          Паралельним перенесенням у просторі називається таке перетворення, у якому довільна точка (x; y;z) постаті перетворюється на точку (>x+a;y+b;z+c), де числаa,b,c одні й самі всім точок (x; y;z). Паралельний переносів просторі задається формулами

                                     x'=x+a,y'=y+b,z'=z+c,

виражають координати x', y',z' точки, у якому переходить точка (x; y;z) при паралельному перенесення. Також, як і площині, доводяться такі властивості паралельного перенесення:

          1.Параллельние перенесення є рух.

          2. При паралельному перенесення точки зміщуються по паралельним (чи співпадаючим) прямим одне і те відстань.

          3. При паралельному перенесення кожна пряма перетворюється на паралельну їй пряму (чи себе).

          4. Хоч би якими були точки A і A', існує єдиний паралельний перенесення, у якому точка A перетворюється на точку A'.

          Новим для паралельного перенесення у просторі є що властивість: