Довжина кола

Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто є одним і тим самим числом для будь-яких двох кіл. Це число позначається  . , де l — довжина кола, R — радіус. Отже,   або  ;  — число ірраціональне,  . Довжина дуги кола, яка відповідає центральному куту  :  .

20.

21.

22.Декартові координати на площині: основні поняття, означення, співвідношення. Координатний метод розв'язування геометричних задач.

Нагадаємо, що для введення системи координат на площині через деяку точку О необхідно провести дві взаємно перпендикулярні прямі Ох і Оу, вибрати на кожній із них напрям (його позначають стрілкою) і одиничний відрізок (рис.). То чку О називають початком координат, площину, на якій проведені прямі, —координатною площиною, а самі прямі Ох і Оу — координатними осями (абоосями координат). Початок координат ділить кожну з осей на дві півосі: додатну (на ній позначається стрілка) і від'ємну. Тепер будь-якій точці А даної площини можна однозначно поставити у відповідність впорядковану пару чисел — координати цієї точки. Для цього з точки А проведемо перпендикуляри АА_х   Ох і АА_у   Оу.  Пе рша координата точки А — абсциса (позначається буквою х) — є додатним числом, якщо точка А_хлежить на правій півосі осі Ох, або від'ємним числом, якщо точка А_х лежить на лівій півосі осі Ох. При цьому модуль числа х дорівнює довжині відрізкаОА_х. Аналогічно визначається друга координата точки А — ордината (позначається буквою у): це додатне число, якщо точка А лежить на верхній півосі осі Оу, або від'ємне число, якщо точка Алежить на нижній півосі осі Оу, а модуль числа удорівнює довжині відрізка ОА . Координати точки Азаписують так: А(х; у). При цьому абсцису точки вказують першою, а ординату — другою. Зауважимо, що ординати точок осі Ох дорівнюють нулю, абсциси точок осі Оу також дорівнюють нулю, а початок координат має координати О (0; 0). Вісь Ох (зазвичай вона горизонтальна) називають віссю абсцис, вісь Оу — віссю ординат, а введену таким способом систему координат — прямокутною декартовою на честь Рене Декарта, який першим застосував її у своїх дослідженнях. Осі координат ділять площину на чотири частини (координатні чверті). У межах однієї чверті знаки координат точок зберігаються такими, які вказані на рисунку.

Отже, місце точки на площині визначається парою чисел - координатами точки. Ми вирушаємо на вулицю Відрізок. На вулиці Відрізок живуть цікаві задачі. Вони оселилися тут після того, як було встановлено формулу відстані між двома точками. Ви знаєте, як знаходити відстань між двома точками, заданими своїми координатами на координатній прямій: для точок А (х₁) і В (х₂):  АВ = | х₂ - х₁ |. На вчимося знаходити відстань між точками  А (х₁; у₁) і В (х₂; у₂), заданими на площині ху. Розглянемо випадок, коли відрізок АВ не перпендикулярний до жодної з координатних осей (рис.). Через точки А і В проведемо прямі, перпендикулярні до координатних осей. Отримаємо прямокутний трикутникАСВ. Очевидно, що ВС = |х₂ - х₁|, АС = |у₂ - у₁|. Звідси за теоремою Піфагора  АВ ² = ВС ² + АС ² = |х₂ - х₁| ² + |у₂ - у₁| ².  Тоді формулу відстані між точками А (х₁; у₁) і В (х₂; у₂) можна записати так:  (формула відстані між двома точками). Отже, Відстань між двома точками дорівнює кореню квадратному із суми квадратів різниць їх відповідних координат. Нехай А(х₁; у₁) і В(х₂; у₂) — точки площини ху. Навчимося знаходити координати (х₀; у₀) точки М — середини відрізка АВ. Знов-таки розглянемо випадок, коли відрізок АВ не перпендикулярний до жодної з координатних осей (рис.). Вважатимемо, що х₂ > х₁ (випадок, коли х₂ < х₁, розглядається аналогічно). Через точки А, М і В проведемо прямі, перпендикулярні до осі абсцис, які перетнуть цю вісь відповідно в точках А₁, М₁ і В₁. За теоремою Фалеса А₁М₁ = М₁В₁, тобто | х₀ - х₁| = | х₂ - х₀|. О скільки х₂ > х₀ > х₁, то можемо записати:  х₀ - х₁ = х₂ - х₀. Звідси  Аналогічно можна показати, що Отже, кожна координата середини відрізка дорівнює півсумі відповідних координат його кінців.

24. Вектори на площині: основні поняття, означення, дії, співвідношення. Векторний метод розв'язування геометричних задач.

 Вектор - це напрямлений відрізок або вектор - це паралельний перенос.

Вектори позначають:

Або за початком і кінцем

Якщо початок і кінець співпадають, вектор називають нульовим або О Два вектори називають рівними, якщо їх довжини рівні, а напрями співпадають

Вектори, які лежать на паралельних прямих, називають колінеарними.

(а якщо ця умова не виконується, то не колінеарними)

Вектори, які лежать в одній площині, називають компланарними (а якщо

ця умова не виконується, не компланарними).

- не компланарні

- компланарні

2. Додавання векторів Правило трикутника

Правило паралелограма

С умою двох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Правило паралелепіпеда

Сумою трьох не колінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелепіпеда, побудованого на цих векторах, яка виходить з цієї ж точки.

Властивості додавання

1)  — комутативність

2)  — асоціативність

3) 

4) якщо  , то  і називається протилежним

Віднімання векторів

Щоб відняти два вектори, потрібно відкласти їх від спільної точки, з'єднати кінці і стрілку поставити до того вектора, від якого віднімаємо

Множення вектора на число.

Добутком  на число k називають вектор, який має довжину  і співнапрямлений з  , якщо k > 0 та протилежний до нього, якщо k < 0.

Як видною, при множенні вектора на число, одержуємо колінеарні вектори. Справедливе обернене твердження, яке?.

Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох векторів називають число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

, де 

Якщо  то  і навпаки , якщо  , тобто  .

24. Рухи на площині, види рухів, їх властивості. Рівність фігур

Рухом - перетворення однієї фігур у іншу коли вона зберігає відстань між точками, тобто. переводить будь-які дві точки X і Y однієї фігур у точки X , Y інший постаті отжеXY = X Y

          Властивості руху: 1. Крапки, що лежать на прямий, під час руху переходить до точки, що лежать на прямий, й тепло зберігається порядок їх взаємного розташування.Це означає, що й A, B, З, що лежать на прямий, переходить до точки A₁,B₁,З₁. Те ці точки також лежать на прямий; якщо точка B лежить між точками A і З, то точка B₁ лежить між точками A₁ і З_1.

 

          Доказ. Нехай точка B прямийAC лежить між точками A і З.Докажем, що точки A₁,B₁,З₁ лежать в одній прямий.

          Якщо точка A₁,B₁,З₁ не лежать на прямий, всі вони є вершинами трикутника. Тому A₁З₁ < A₁B₁ + B₁З₁. За визначенням руху це означає, щоAC<AB+BC. Проте з властивості виміру відрізківAC=AB+BC.

          Ми дійшли протиріччю. Отже, точка B₁ лежить на жіночих прямий A₁З₁. Перше твердження теореми доведено.

          Покажемо тепер, що вищу точку B₁ лежить між A₁ і З₁. Припустимо, що вищу точку A₁ лежить між точками B₁ і З₁. Тоді A₁B₁ + A₁З₁ = B₁З₁, і, отже,AB+AC=BC. Але суперечить нерівностіAB+BC=AC. Отже, точка A₁ неспроможна лежати між точками B₁ і З₁.

          Аналогічно доводимо, що вищу точку З₁ неспроможна лежати між точками A₁ і B₁.

          Оскільки із трьох точок A₁,B₁,З₁ одна лежить між двома іншими, то цієї точкою може лише B₁. Теорему доведено повністю.