18. Вписані й описані чотирикутники

Теорема 1. Нав­коло чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює  . На рисунку  . Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі. Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)

еорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­одній. На рисунку  . Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони (рисунок справа). Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута. Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.

19. Опуклий многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні й усі кути рівні. Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі. Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до деякого кола. Теорема 1. Правильний опуклий многокутник є вписаним у коло й описаним навколо ­кола. Вписане й описане кола правильного многокутника мають один і той самий центр, який називається центром многокутника. Кут, під яким видно сторону правильного многокутника із цього центра, називається центральним кутом многокутника. На рисунку   — центральний кут многокутника. ; ; . Теорема 2. Правильні опуклі n-кутники подібні. Зокрема, якщо у них сторони рівні, то такі n-кутники рівні. Правильний трикутник (рівносторонній) На рисунку:  ; ; ;  ;  ; :  ;  ; ;  ; ;  ; ;  ;  ; .м

Правильний чотирикутник (квадрат) На рисунку:  ; ; ;  ; ;  ;  ;  — рівнобедрені прямокутні трикутники. Правильний шестикутник На рисунку:  ; ; сторона а; ;  ; ;  ;  — рівноcторонні трикутники; ABCD — рівнобічна трапеція з кутами   і  ; ,  ; — рівнобедрений; ;  ; ;  . Діагональ  . Зверніть увагу: якщо з’єднати послідовно середини сторін правильного n-кутника, отримаємо правильний n-кутник (див. рисунки). Якщо через вершини правильного n-кутника провести дотичні до описаного навколо нього кола, отримаємо правильний ­n-кутник. Якщо з’єднати через одну вершини правильного 2n-кутника, отримаємо правильний n-кутник.