7. Коло дев'яти точок і пряма Ейлера

Розглянемо довільний трикутник. Теорема Ейлера про коло дев'яти точок говорить: основи висот, середини сторін і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр - точку перетину висот - з вершинами трикутника, лежать на одному колі - колі дев'яти точок.

При гомотетії с центром в ортоцентрі трикутника і коеффіцієнтом 1/2 описане коло навколо трикутника  переходить в коло дев*яти точок. При цій гомотетії центр описаного кола переходить в центр кола дев*яти точок.Отже, центр кола дев*яти точок — середина відрізкака, що з*єднує ортоцентр трикутника с центром його описаного кола. При гомотетии з центром в точці перетину медіан і коефіцієнтом -1/2 вершини трикутника переходять у середини протилежних сторін. Тому при цій гомотетії висоти переходять в серединні перпендикуляри, а ортоцентр - в центр описаного кола. Це означає, що центр ваги трикутника (точка перетину його медіан) лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і розташована вдвічі ближче до центру описаного кола, ніж до ортоцентру.

Таким чином, центр описаного кола, центр ваги, центр кола дев'яти точок і ортоцентр лежать на одній прямій - прямий Ейлера.

9. Великий клас чотирикутників становлять паралелограми.

Чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, називається паралелограмом.

Висотою паралелограма називається відрізок, що є перпендикуляром до прямої, яка містить протилежну сторону.

У паралелограма з кожної його вершини можна провести по дві висоти. Висоти, проведені з вершин тупих кутів паралелограма, лежать у паралелограмі; висоти, проведені з гострих тупих кутів паралелограма, лежать зовні паралелограма.

Властивості паралелограма

У паралелограмі протилежні сторони рівні.

У паралелограмі протилежні кути рівні.

У паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°.

Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Діагоналі паралелограма ділять його на два рівні трикутники.

Ознаки паралелограма

Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику дві протилежні сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Якщо в чотирикутнику протилежні кути попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм.

Властивість діагоналей паралелограма:

Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл.

Властивість протилежних сторін і кутів паралелограма:

У паралелограма протилежні сторони й кути рівні.

10. Ще одні представники класу паралелограмів — ромб і квадрат.

Паралелограм, у якого всі сторони рівні, називається ромбом.

Властивості ромба

Протилежні кути ромба рівні.

У ромба сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180°. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом.

Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

Діагоналі ромба перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Ознаки ромба

Якщо в паралелограмі діагоналі перетинаються під прямим кутом, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в паралелограмі діагоналі є бісектрисами його кутів, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в паралелограмі дві суміжні сторони рівні, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то цей чотирикутник є ромбом.

Якщо в паралелограмі одна з діагоналей є бісектрисою його кута, то цей паралелограм є ромбом.

Якщо в чотирикутнику діагоналі є бісектрисами його кутів і перетинаються під прямим кутом, то цей чотирикутник є ромбом.

Це цікаво.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін прямокутника, то одержимо ромб.

Якщо з’єднати відрізками середини сторін ромба, то одержимо прямокутник.

Якщо у паралелограма всі висоти рівні, то цей паралелограм є ромбом.

Прямокутник, у якого всі сторони рівні, називається квадратом.

Властивості квадрата

Усі кути квадрата — прямі.

Діагоналі квадрата перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.

Діагоналі квадрата рівні.

Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом.

Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів.

Ознаки квадрата

Якщо в прямокутнику діагоналі перетинаються під прямим кутом, то цей прямокутник є квадратом.

Якщо у ромба діагоналі рівні, то цей ромб є квадратом.

Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні і всі кути рівні, то цей чотирикутник є квадратом.

11.  Трапеція та її властивості

Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші сторони не паралельні.

     Паралельні сторони трапеції називають основами, а непаралельні сторони – бічними.

    Наприклад: ABCD – трапеція, оскільки  , АВ∦CD, сторони BC і AD – основи трапеції, АВ і СD – бічні сторони трапеції.

     Висотою трапеції називають перпендикуляр, проведений із будь-якої точки однієї з основ на пряму, що містить другу основу (або відстань між основами трапеції).

    Наприклад: MN – висота трапеції ABCD.

     Середньою лінією трапеції називають відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції.

    Наприклад: KL – середня лінія.

     Властивості трапеції

1. Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони, дорівнює 180°.  Наприклад:  .

2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.  Наприклад:  .

     Трапецію, у якої бічні сторони рівні, називають рівнобічною (рівнобедреною) трапецією.

    Наприклад: ABCD – рівнобічна трапеція.

     Властивості рівнобічної трапеції

У рівнобічній трапеції:

1. Кути при основі рівні:  .

2. Діагоналі рівні: AC=BD.

     Прямокутною називають трапецію, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. Ця бічна сторона є висотою трапеції.

     Якщо у рівнобічній трапеції діагоналі взаємно перпендикулярні, то її висота дорівнює середній лінії:

.

     Коло можна описати лише навколо рівнобічної трапеції.

     Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами:

.

     Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії:

.

12. Средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Если же соединить отрезком середины оснований, получится вторая средняя линия трапеции. Итак, вторая средняя линия трапеции – это отрезок, соединяющий середины оснований трапеции.

Властивості:

1. Средние линии трапеции в точке пересечения делятся пополам.

2. Вторая средняя линия трапеции проходит через точку пересечения диагоналей

3. Прямая, содержащая вторую среднюю линию трапеции, проходит через точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны

4. В равнобочной трапеции средние линии перпендикулярны

5. В равнобочной трапеции вторая средняя линия перпендикулярна основаниям

6. Если средние линии трапеции равны, ее диагонали перпендикулярны

13.  Середня лінія фігур - відрізок, що з'єднує середини двох сторін даної фігури.

якщо в опуклому чотирикутнику середня лінія утворює рівні кути з діагоналями чотирикутника, то діагоналі рівні.

• довжина середньої лінії чотирикутника менше півсумі двох інших сторін або дорівнює їй, якщо ці сторони паралельні, і тільки в цьому випадку.

• середини сторін довільного чотирикутника - вершини паралелограма. Його площа дорівнює половині площі чотирикутника, а його центр лежить на точці перетину середніх ліній. Цей паралелограм називається паралелограмом Варіньона;

• Точка перетину середніх ліній чотирикутника є їхньою спільною серединою і ділить навпіл відрізок, що з'єднує середини діагоналей. Крім того, вона є центроїдом вершин чотирикутника.

3. Властивості трапеції:

• середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх півсумі;

• середини сторін рівнобедреної трапеції є вершинами ромба.

14.Коло, круг. Довжина кола, дуги кола

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки —центра кола.

Рис. 1. Коло

Радіус кола — відстань від точок кола до його центра. Радіус кола зазвичай позначається буквами r,R.

Хорда — відрізок, який з'єднує будь-які дві точки кола. Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. Діаметр рівний подвоєному радіусу кола. Діаметр зазвичай позначають буквами d,D.

Дотична — пряма, яка проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку. Через будь-яку точку, що лежить поза колом і належить площині кола, можна провести дві різні дотичні.

Пряма, що має з колом дві спільні точки, називається січною.

Довжиною кола називається границя послідовності периметрів правильних багатокутників, які вписані в дане коло, при необмеженому збільшенні кількості сторін. Довжина кола C обчислюється за формулою

C=πd

або

C=2πr

Довжина дуги кола з кутовою величиною в α∘ обчислюється за формулою

l=πrα180

Круг

Кругом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не перевищує заданої. Ця точка — центр круга. Радіус — задана відстань. Радіус, хорда і діаметр кола є радіусом, хордою та діаметром відповідного кругу.

Рис. 2. Круг

Площою круга називається границя послідовності площ правильних багатокутників, вписаних в дане коло, при необмеженому збільшенні кількості сторін. Площа круга обчислюється за формулою:

S=πr2

Сектором називається частина круга, що обмежена двома його радіусами.

Площа сектора з кутовою величиною дуги α∘ обчислюється за формулою

Sc=πr2α360

15. Площа круга дорівнює половині добутку довжини кола, що її обмежує, на радіус:

S = (lR) / 2 = πR² = (πd²) / 4

Круговий сектор — частина круга, що лежить усередині відповідного центрального кута.

Площа кругового сектора визначається за формулою: S = (πR²n) / 360⁰.

Круговий сегмент — спільна частина круга й півплощини.

16. Кожна з частин площини, на які будь-який кут розбиває площину, називається плоским кутом. Плоскі кути, які мають спільні сторони, називаються доповняльними кутами, а їхня сума дорівнює 360. Кут, уписаний у коло — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають дане коло.

Уписаний у коло кут, сторони якого перетинають коло у двох певних точках, дорівнює половині кута між радіусами кола, проведеними в ці точки, або доповнює половину цього кута до 180°.

Якщо уписаний кут є гострим, то він дорівнює половині кута між радіусами, а якщо уписаний кут є тупим, то він доповнює його до 180°. Усі уписані кути, сторони яких проходять через дві певні точки кола, а вершини лежать з одного боку від прямої, що з’єднує ці точки, рівні.

Кути, сторони яких проходять через кінці діаметра, є прямими.

Центральний кут — це плоский кут, вершина якого є центром кола, а сторони кута перетинають коло.

Дуга кола, що відповідає центральному куту, — це частина кола, яка знаходиться всередині кута.

Градусна міра дуги — градусна міра відповідного центрального кута.

Кут, уписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

17. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо всі вершини трикутника лежать на колі. Кажуть, що трикутник є вписаним у коло.

Навколо будь-якого трикутника можна описати коло і лише одне. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину перпендикулярів, проведених через середини сторін трикутника, тобто точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника.

Зверніть увагу! Щоб знайти центр описаного кола, достатньо провести серединні перпендикуляри до двох сторін трикутника.

Щоб описати навколо трикутника коло, треба знайти центр кола і радіусом, що дорівнює відстані від центра кола до будь-якої вершини трикутника, побудувати коло.

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одне.

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина його гіпотенузи, а радіус дорівнює її половині.

Якщо одна із сторін уписаного в коло трикутника дорівнює його діаметру, то цей трикутник прямокутний.