Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть: • збігатися; • бути паралельними (тобто не перетина­тися); • мати одну спільну точку. (Дійсно, якщо б дві прямі могли мати хоча б дві спільні точки, то через ці дві точки проходили б дві різні прямі, що суперечить аксіомі І, п. 2).

2. Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками.

Теорема:  Сумма углов треугольника равна 180⁰.

Следствие: У любого треугольника хотя бы два угла острые.

 

Виды треугольника

По сторонам:

1. Равнобедренный

2. Равносторонний

3. Произвольны

По углам

1. Остроугольный

2. Тупоугольный

3. Прямоугольный

Элементы треугольника

Медиана треугольника – это отрезок, исходящий из вершины треугольника к противолежащей стороне и делящий его пополам.

Высота треугольника – это отрезок, исходящий из вершины треугольника к противолежащей стороне под прямым углом.

Биссектриса треугольника – это отрезок, исходящий из вершины треугольника и делящий этот угол пополам.

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Следствие: Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

 

Соотношения между сторонами и углами треугольника

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против меньшего угла лежит меньшая сторона.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, против меньшей стороны – меньший угол.

 

Неравенство треугольника

Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.

 

 

Замечательные точки треугольника

1. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

4. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке.

3. Соотношения между сторонами и углами треугольника.

		В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
	В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
	В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
	В прямоугольном треугольнике котангенс угла равен отношению прилежащего катета к противолежащему.

Теорема 24. (Пифагора) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теорема 25. (Теорема, обратная теореме Пифагора) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

С помощью теоремы, обратной к теореме Пифагора, можно по длинам сторон определить, является он прямоугольным или нет.

Наиболее интересны прямоугольные треугольники с целочисленными длинами сторон. Так, например, треугольники

3, 4, 5 и далее им подобные 6, 8, 10, далее 9, 12, 15 и т.д.

5, 12, 13 и далее им подобные 10, 24, 26 и т.д.

8, 15, 17 и далее им подобные.

7, 24, 25 и далее им подобные.

Скорее всего таких независимых серий прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон бесконечно много.

 

	Теорема 26. (синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.   . Следствием к теореме синусов можно считать следующую теорему. Теорема 27. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и их отношения равны двум радиусам описанной окружности около данного треугольника..   .
	Теорема 28. (косинусов) Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.   .

4. Як відомо, медианами трикутника називаються відрізки, що з'єднують його вершини з серединами протилежних сторін. Всі три медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 1:2.  Точка перетину медіан є також центром ваги трикутника. Якщо підвісити картонний трикутник в точці перетину його медіан то він буде перебувати в стані рівноваги  Цікаво, що вcе шість трикутників, на які кожен трикутник розбивається своїми медианами, мають однакові площі.  Медіани трикутника через його боку виражаються так:   ,   ,   .  Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.  Побудуємо трикутник, сторони якого рівні медианам даного трикутника, тоді медіани побудованого трикутника будуть рівні 3 / 4 сторін початкового трикутника.  Даний трикутник назвемо першим, трикутник з його медіан - другим, трикутник з медіан другого - третім і т. д. Тоді трикутники з непарними номерами (1,3, 5, 7 ,...) подібні між собою і трикутники з парними номерами ( 2, 4, 6, 8 ,...) також подібні між собою.  Сума квадратів довжин всіх медіан трикутника дорівнює ¾ суми квадратів довжин його сторін.

5. Трикутник є найпростішою геометричною фігурою, тому відомо багато теорем про його елементи, одним із яких є бісектриса.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси одного з кутів цього трикутника від вершини кута до точки перетину з протилежною стороною.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці — в центрі вписаного в трикутник кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам, а саме на відрізки, відношення яких дорівнює відповідно відношенню прилеглих до них двох інших сторін трикутника.

Або бісектриса трикутника розбиває деяку сторону на дві такі частини, що відношення однієї з них до прилеглої до неї сторони трикутника дорівнює відношенню другої частини до відповідно прилеглої до неї сторони трикутника.

Корисними при розв’язанні задач є властивості елементів прямокутного трикутника.

6. Висота трикутника, опущена з даної вершини, — це перпендикуляр, проведений із цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.

У кожному трикутнику можна провести три висоти. У гострокутному трикутнику всі висоти лежать усередині трикутника.

У тупокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, лежать зовні трикутника.

У прямокутному трикутнику висоти, проведені з вершин гострих кутів, збігаються з його сторонами.

Точка перетину висот трикутника називається його ортоцентром. У гострокутному трикутнику ортоцентр лежить усередині трикутника. У прямокутному — у вершині прямого кута, у тупокутному трикутнику — поза трикутником.