Вопрос16. . Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка: однородные и неоднородные.

 

Частным случаем дифференциальных уравнений (ДУ) такого типа называют линейные однородные дифференциальные уравнения и линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения   на отрезке [a;b] представляет собой линейную комбинацию 2х линейно независимых частных решений y₁ и y₂ нашего уравнения, т.е.:

.

Самое сложное заключается в определении линейно независимых частных решений ДУ такого типа. Зачастую, частные решения выбирают из таких систем линейно независимых функций:

Но достаточно редко частные решения представляются именно так.

Примером линейного однородного дифференциального уравнения можно назвать  .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения   определяется как  ,

где y₀ является общим решением соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения,

а   является частным решением исходного ДУ. Метод определения y₀ мы сейчас обсудили, а   вычисляют, используя метод вариации произвольных постоянных.

Как пример линейного неоднородного дифференциального уравнения приводим  .

17 вопрос. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка  с постоянными коэффициентами

В теории  и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение инеоднородное уравнение.

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где   и   – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: , где   и   – константы, а   – функция, зависящая только от «икс». В простейшем случае функция   может быть числом, отличным от нуля.

Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!

Кроме того, чтобы научиться решать неоднородные уравнения необходимо уметь решать однородные уравнения. По этой причине сначала рассмотрим алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка:

Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение:

По какому принципу составлено характеристическое уравнение, отчётливо видно:  вместо второй производной записываем  ; вместо первой производной записываем просто «лямбду»; вместо функции   ничего не записываем.

 – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить.

Существуют три варианта развития событий. Они доказаны в курсе математического анализа, и на практике мы будем использовать готовые формулы.

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня

Если характеристическое уравнение   имеет два различных действительных корня  ,   (т.е., если дискриминант  ), то общее решение однородного уравнения выглядит так:  , где   – константы.

В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например,  , тогда общее решение:  .

18 вопрос. Если   - бесконечная последовательность чисел, то формально записанное выражение

                (1)

называется бесконечным рядом (или просто рядом). Многоточие в конце (иногда шутят, что в нём-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть "бесконечная" сумма.

Короче ряд (1) можно записать в виде  ,

где индексы внизу и вверху символа суммы означают, что нужно взять сумму чисел  , когда n принимает целочисленные значения от 1 до ∞.

Числа   называются членами ряда, а член ряда, стоящий на n-м месте от начала, - его общим членом.

Примерами рядов могут служить:

            (2)

                            (3)

                                     (4)

Задать ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член (ещё раз вспомните школьные уроки об арифметической и геометрической прогрессиях). Ряд задаётся формулой общего члена. Например, если  , то тем самым определён следующий ряд:

                                (5)

если   то получим ряд

                                (6)

Если в дальнейшем будем говорить, что дан ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1. Если сходится числовой ряд  , то сходящимся будет и ряд  . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду   добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2. Если сходится числовой ряд   и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд  , причем  , где A – произвольная постоянная.

3. Если сходятся числовые ряды   и  , их суммы равны A и Bсоответственно, то сходящимися будут ряды   и  , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.