Объем тел вращения

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

y = f(x)

x

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Площадь поверхности тела вращения

М_i B

А

х

x_i

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.

Разобьем дугу АВ на n частей точками M₀, M₁, M₂, … , M_n. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты x_i и y_i. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна P_i. Эта площадь может быть найдена по формуле:

Здесь S_i – длина каждой хорды.

Применяем теорему Лагранжа к отношению .

Получаем:

Тогда

Площадь поверхности, описанной ломаной равна:

Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что

Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.

7.Основные свойства определенного интеграла.

2. Основные свойства определенного интеграла

1. Если интегрируема в промежутке , то она интегрируема и в промежутке , причем

.

2. На отрезке нулевой длины .

3. Пусть интегрируема, тогда имеет место равенство

.

4. Если интегрируема в промежутке , то и (где ) также интегрируема в этом промежутке, причем

5. Если и - обе интегрируемы в промежутке , то и также интегрируема в этом промежутке, причем

.

6. Если обе функции и интегрируемы в промежутке и всегда , то и

, в предположении, что .

8.Интегрирование по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Метод замены переменной

Пусть требуется вычислить интеграл , где непрерывная функция на промежутке . Пусть удовлетворяет следующим условиям:

1. определена и непрерывна на некотором промежутке и ее значения не выходят за пределы промежутка , когда изменяется в ;

2. ;

3. существует в непрерывная производная .

Тогда имеет место формула .

Пример. 1.Найдем интеграл с помощью подстановки ;

роль и здесь играют 0 и . Имеем:

.

2. Рассмотрим интеграл .

Пусть . Тогда при , при .

Поэтому .

Интегрирование по частям

Нам уже известна формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла: , в предположении, что функции , от независимой переменной непрерывны в рассматриваемом промежутке вместе со своими производными , .

Для определенного интеграла эта формула имеет вид:

.

Примеры.

1. ,

2. ,

3. .

В экономических задачах для использования определенного интеграла нужно составить некоторую идеализированную модель, пред­полагающую непрерывное изменение зависимых переменных (функций) и независимых переменных (аргумента). Рассмот­рим пример.

Задача. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией f(t) = 2t + 5.

Решение. Имеем:

V = .