Вопрос 13 Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Етод вариации постоянной. Уравнение Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это  — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x),  — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0:  y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Вопрос14. . Дифференциальные уравнения 2-го порядка. Общее и частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка. Теорема Коши (без доказательства); ее геометрический смысл.

Дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:

. (1.1)

Общим решением уравнения является семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных   и  :  (или   – общий интеграл дифференциального уравнения 2-го порядка). Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (1.1) состоит в отыскании частного решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: при  :  ,  . Необходимо заметить, что графики решений уравнения 2-го порядка могут пересекаться в отличие от графиков решений уравнения 1-го порядка. Однако решение задачи Коши для уравнений 2-го порядка (1.1) при довольно широких предположениях для функций, входящих в уравнение, единственно, т.е. всякие два решения с общим начальным условием  ,  совпадают на пересечении интервалов определения

Получить общее решение или решить задачу Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка аналитически удается далеко не всегда. Однако в некоторых случаях удается понизить порядок уравнения с помощью введения различных подстановок. Разберем эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной  .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:  , т.е. в уравнении (1.1) явно не присутствует независимая переменная  . Это позволяет принять   за новый аргумент, а производную 1-го порядка   принять за новую функцию  . Тогда  .

Таким образом, уравнение 2-го порядка   для функции  , не содержащее явно  , свелось к уравнению 1-го порядка   для функции  . Интегрируя это уравнение, получаем общий интеграл   или  , а это есть дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции  . Решая его, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения, зависящий от двух произвольных постоянных:  .

2. Уравнения, не содержащие явно искомой функции  .

Пусть дифференциальное уравнение 2-го порядка имеет вид:  , т.е. в уравнение явно не входит искомая функция  . В этом случае вводят постановку  . Тогда   и уравнение 2-го порядка   для функции   переходит в уравнение 1-го порядка   для функции  . Проинтегрировав его, получаем дифференциальное уравнение 1-го порядка для функции  :  . Решая последнее уравнение, получаем общий интеграл заданного дифференциального уравнения  , зависящий от двух произвольных постоянных:  .