Варианты лабораторных работ

Номер варианта	Функция	Номер варианта	Функция
1		16
2		17
3		18
4		19
5		20
6		21
7		22
8		23
9		24
10		25
11		26
12		27
13		28
14		29
15		30

Тема 2. Численное интегрирование. Приближенное вычисление определенного интеграла Лабораторная работа № 3 Приближенное вычисление определенных интегралов»

Цель работы. Вычислить численно определенный интеграл вида

, где (1)

- а, b – нижний, верхний пределы интегрирования соответственно;

- f(х) - непрерывная функция на отрезке [а, b].

с помощью методов левах, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.Оценить погрешность полученных результатов.

Постановка задачи:

1. С помощью различных сред программирования (MathCad, MATLAB) найти приближенное значение определенного интеграла функции f(x) на интервале [a, b] при заданном числе промежутков интегрирования n .

2. Приближенное значение интеграла определить с помощью методов левах, правых, средних прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3. Оценить погрешность вычисления приближенного интеграла.

Содержание отчета:

1. Постановка задачи.

2. Теоретические сведения.

3. Ручной счет с использованием формул средних прямоугольников, трапецій.

4. Листинги счета на ЭВМ.

Теоретические сведения.

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через элемен­тарные функции аналитически записать первообразную интеграла (1), или, когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f(х) аппроксимирующей функ­цией φ(х), для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т. е.

,где (2)

• S - приближенное значение интеграла;

• R - погрешность вычисления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования можно сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подынтегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральной функции. Алгоритмы методов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтегральной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином. Методы различаются по типу выбранных сплайнов.

В методах наивысшей алгебраической точности используют неравноотстоящие узлы, расположенные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность интегрирования для наиболее сложных функций при заданном количестве узлов.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика случайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказываются эффек­тивными при вычислении большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разра­батываются на основе учета особенностей конкретных подынтегральных функций.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегри­рования необходимо вычислить приближенное значение интеграла (1) и оценить погрешность R. Погрешность будет уменьшаться при увели­чении количества разбиений n интервала интегрирования [а, b] за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значения n₀ становится преобла­дающей. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа n и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метода интегрирования.