3) Операции над кубитами

Измерение в стандартном базисе — получаем информацию о состоянии кубита. Результат будет |0> с вероятностью |α²|, и |1> с вероятностью |β²|. Измерение меняет значения α и β. Например, если было измерено |0>, то α меняется на 1, а β - на 0. Измерение кубита, запутанного с другой квантовой системой, переводит чистое состояние в смешанное:

Например, если мы измерим первый кубит в двухкубитной системе a|00>+b|01>+c|10>+d|11>, то получим:

С вероятностью первый кубит перейдёт в состояние , а второй — в состояние ,

С вероятностью первый кубит перейдёт в состояние , а второй — в состояние .

Т.е. измерение даст базовое состояние у первого кубита, и суперпозицию у второго. Это означает, что система оказалась в смешанном состоянии.

Измерение не является унитарным преобразованием, т. к. оно необратимо.

Работа к. комьютера заключается в инициализации начального состояния, применении последовательности к. вентилей, и затем измерении результата.

В случае классического вероятностного компьютера, мы выбираем из распределения вероятности на 2-битном регистре, и получаем одно точное значение, например 00.

В к. компьютере мы измеряем состояние двух кубитов, коллапсируя систему к классическому распределению, а затем уже вероятностно выбираем из этого распределения.

Поэтому большинство алгоритмов дают результат с некоторой вероятностью. Многократно инициализируя, прогоняя и измеряя результат, мы увеличиваем вероятность правильного ответа.

Вентили

Квантовый логический вентиль — это унитарное преобразование над пространством состояний, соответствующее вращению кубита в сфере Блоха. Вентили — унитарны (т.е. сохраняют скалярное произведение), т. к. эволюция к. системы должна сохранять норму, чтобы вероятности суммировались к 1.

Т.е. одна операция над кубитом затрагивает сразу все его возможные состояния — это и обеспечивает параллелизм вычислений.

В классическом вычислении, обратимый вентиль — это биективное отображение

f :{0,1}ⁿ ->{0,1}ⁿ

Т.е. переводит n битов в n битов. Например, NOT. А AND или OR необратимы.

В к. вычислении, мы имеем Гильбертово пространство линейных суперпозиций классических последовательностей битов. Это векторное пространство над комплексными числами, размерности 2ⁿ.

И к. вентиль отображает его на само себя. Т.е. количество входов всегда равно количеству выходов.

Наиболее широко применяемые вентили:

1) Cnot (Controlled not Gate)

Оперирует двумя кубитами. Переворачивает второй кубит (целевой), если первый кубит (контрольный) равен 1.

Before		After
Control	Target	Control	Target
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	1	1
1	1	1	0

Если в качестве входа допускать только |0> или |1> - целевой кубит выхода будет реализовывать XOR. Если зафиксировать контрольный кубит в |1> - целевой кубит будет реализовывать NOT.

В общем случае, вход может быть суперпозицией {|0>,|1>}, и вентиль CNOT переводит состояние a|00>+b|01>+c|10>+d|11> в a|00>+b|01>+d|10>+c|11>. Т.е. в виде матрицы:

На практике CNOT обычно используется для получения состояния Бэлла — максимально запутанного состояния двух кубитов. Для этого, мы подаём на вход контроль=1/√2(|0>+|1>), и цель=|0> - и на выходе CNOT получаем 1/√2(|00>+|11>). Это состояние максимальной квантовой запутанности. Кубит Алисы (А) находится в суперпозиции состояний 0 и 1 с равной вероятностью ½, результат измерения случаен. Так же и кубит Боба (B). Но если Боб измерит состояние своего кубита после Алисы, и спросит у Алисы о состоянии её кубита — они окажутся коррелированными.

Запутанность формирует базис для сверхплотного кодирования, квантовой телепортации (передача квантового состояния на расстояние при помощи разъединённой в пространстве запутанной пары и классического канала связи - состояние разрушается в точке отправления при проведении измерения, после чего воссоздаётся в точке приёма), и квантовой криптографии.

Экспериментально, впервые вентиль CNOT был реализован в 1995.